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Sind die beiden unendlichen Mengen

A = {2, 4, 6, 8, ...} und B = {1, 0.1, 0.01, 0.001,..} gleichmächtig?


Ich weiß das die beiden Mengen A, B gleichmächtig sind, wenn es eine bijektive Abbildung gibt f : A → B. Es gelten die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität. Aber wie zeig ich das z.B. A reflexiv ist?

von

3 Antworten

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Sei x ein Element der Menge A dann erhalte ich ein Element y der Menge B über

y = 10(2 - x)/2

von 271 k
+1 Punkt

"Aber wie zeig ich das z.B. A reflexiv ist?"
Falls die Relation als "gleichmächtig sein" definiert ist, so ist sie reflexiv, da es eine Bijektion zwischen A und A gibt und zwar die Identität. Somit A~A.

von
0 Daumen

Bijektion von ℕ0 nach A: a(n) = 2(n+1)

Bijektion von ℕ0 nach B: b(n) = 10-n

Bijektion von A nach B: f(x) = b(a-1(x))

> Es gelten die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität.

Da verwechselst du etwas. Diese Eigenschaften gelten für Äquivalenzrelationen.

von 38 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Die Gleichmächtigkeit zweier Mengen ist eine Äquivalenzrelation..

Ich verstehe den 3. Schritt, also die Bijektion von A nach B noch nicht, magst du einmal erläutern?

a ist eine Bijektion. Also hat a eine Umkehrfunktion. Diese Umkehrfunktion wird üblicherweise durch ein []-1 gekennzeichnet. a-1 ist also die Umkehrfunktion von a, also eine bijektive Abbildung von A nach ℕ0.

f(x) = b(a-1(x)) funktioniert nun so:

Man wählt ein x aus A aus. Auf dieses x wird die Umkehrfunktion von a angewendet um ein Element n aus ℕ0 zu berechnen. Auf dieses n wird dann die Funktion b angewendet um ein Element aus B zu berechnen.

Weil sowohl a als auch b Bijektionen sind, ist auch f eine Bijektion.

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