Zerlegen Sie den Vektor a in einen Vektor parallel zum Vektor b

Question

Zerlegen Sie den Vektor $\vec { a } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right)$ in einen Vektor $\vec { a } _ { \| }$ parallel zum Vektor $\vec { b } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right)$ und einen Vektor $\vec { a } _ { \perp }$, der senkrecht auf $\vec { b }$ steht.

Answer 1

Lass es mich mal so zeigen:

Es gibt einen Vektor (a parallel b) $a_{IIb}$ und einen Vektor (a senkrecht b) $a_{⊥b}$, also

$a_{IIb} \; a_{⊥b} = b \; a_{⊥b} =0$ 

Wir wandern ein t-stückchen parallel b = $a_{IIb}$= t b bis wir senkrecht abbiegen um an die Spitze von a zu kommen $a_{⊥b}$ = (a - t b)

===> b (a - t b) =0 ===> t=1/9 ===> $a_{IIb} \, := \, \frac{1}{9} \left( \begin{array}{r}1\\2\\ 2\\ \end{array} \right)$ ==> $a_{⊥b} \, := \,\frac{1}{9} \left( \begin{array}{r}8\\7\\ -11\\ \end{array} \right)$

mitBild:

Comments

Auf die ergebnisse in der Zeichnung bin ich auch gekommen mit 8/9 = 0,88889 usw. Aber wie kommt man auf:

$$= \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { r } { 8 } \\ { 7 } \\ { - 11 } \end{array} \right)$$

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Wie rechnet man das aus?

Den Vektor $\vec{ a } _ { \perp }$ erhält man dann mittels:

$$\vec { a } _ { \perp } = \vec { a } - \vec { a } _ { \| } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) - \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 9 } \left( \begin{array} { c } { 8 } \\ { 7 } \\ { - 11 } \end{array} \right)$$

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Ich weiß jetzt nicht wirklich, was Du noch hören willst.

Mein Weg führt letztendlich auf die gleiche Rechnung, wie in Deiner Lösung (für a_⊥), deshalb hab sie nicht explizit ausgeschrieben - was ist daran unklar?

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$$\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}-\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1-\frac{1}{9}\\1-\frac{2}{9}\\-1-\frac{2}{9} \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{8}{9}\\\frac{7}{9}\\-\frac{11}{9} \end{pmatrix}$$

Jetzt $\frac{1}{9}$ wieder ausklammern et voilà!

Meintest du das?

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Meine Antwort bezog sich auf den vorletzten Kommentar und ja, auf die Idee könnte man aufgrund des letzten Kommentars kommen, das man Bruchrechnen erklären sollte. Aber da

>auf die ergebnisse in der zeichnung bin ich auch gekommen mit 8/9 = 0,88889 usw..

sagte er was anderes. Verwirrend...

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@wächter: Da du schon alles erklärt hattest, fiel mir das als einzige Möglichkeit ein, weil der FS von seinen "Ergebnissen aus der Zeichnung" sprach.

Answer 2

Ansatz:

1                    1
1       =   x *   2           +  a_⊥    
-1                    2

Nach   a⊥    auflösen und dann    a⊥    * a = 0 verwenden gibt

1-x  +  1 -2x  +  1+ 2x = 0    also    x=3.

Damit ist die Zerlegung:

1                    1                 -2
1       =     3*   2           +    -5
-1                    2                 -7

Comments

verstehe leider null wie das gehen soll

die lösung müsste lauten

a) habe ich verstanden ...kein problem

aber b) sch... richtig rein

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und dann    a⊥    * a = 0 verwenden

$a_\perp$ soll lt. Aufgabenstellung senkrecht auf $b$ stehen - also: $a_\perp \cdot b = 0$