Wurzelkriterium Konvergenz von ∑ 2^ (((-1)^n )-n) untersuchen

Question

Wie kann ich das Konvergenzverhalten mit dem Wurzelkriterium von dieser Reihe bestimmen:

 

∑          2^{((-1)^n )-n}

n≥1

 

Ich rechne schon ewig rum, komm aber einfach nicht drauf!!!

 

DANKE

Comments

In welcher Höhe steht ' -n' genau?

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-n steht auf der höhe von (-1).

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Also 2^{(-1)^n  -n}

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Sei n gerade

2^{(-1)n  -n}  = 2^{1-n} = 2/2^n

Sei n ungerade

2^{(-1)n  -n} = 2^{-1-n} = 1/ (2*2^{n})

Nun das Wurzelkriterium auf beide Fälle anwenden. Der 'heiklere' gibt den Ausschlag für die Konvergenz.

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Was genau ist mit heiklerer gemeint? könntest Du mir bitte zeigen, wie du das Wurzelkriterium anwenden würdest?

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Muss ich quasi die n-te Wurzel aus 2/2ⁿ nehmen. Das wäre dann somit (2/2ⁿ)^1/n und daraus Folgt 2^1/n/ 2. Wenn ich jetzt den Grenzwert berechne. Wie gehe ich mit 1/n als potenz um? Kann ich einfach sagen 1/n geht gegen null und 2 ⁰  ist 1. Oder liege ich da jetzt völlig falsch?

Answer 1

Wie schon in den Kommentaren gesagt, müssen zwei Fälle unterschieden werden.

Fall1:

Sei n gerade: 2/2^n

lim n-te √(2/2^n)

n→∞

=lim (2/2^n)^{1/n} = (2^{1/n})/2^1=1/2

n→∞

2.Fall:

Sei n ungerade: 1/(2*(2)^n)

lim n-te √(1/(2*(2)^n))

n→∞

lim (1/(2*(2)^n))^{1/n}=(1^{1/n})/(2^{1/n}*2^1))=1/2

n→∞

Da 1/2 kleiner 1 ist, konvergiert die obige Reihe.