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Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z2 = 3 + 4 i, indem sie Real- und Imaginärteil von z2 und  3+ 4i vergleichen.

also bei 3+ 4i kann ich mir Realteil = 3 und Imaginärteil = 4 herleiten aber dann weiß ich nicht weiter ..

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Hallo Jenny,

z = x + yi

z2 = (x+y·i)2 = x2 + 2xy·i + y2 i2  = x2 + 2xy·i  + y2 i2 = x2 + 2y·i + y2 · (-1)

    =  x2 + 2yi - y2  =  x2 - y2 + 2xy·i         (RealteilImaginärteil)

         Vergleich mit  3 + 4·i

          x2 - y2  = 3   und   2xy = 4  →  y = 2/x

          x2 - (2/x)2 = 3  ⇔  x2 - 4/x2 = 3  ⇔  x4 - 4 = 3x2

        ....

        Die Gleichung x4 - 3x2 - 4 = 0   ( Substitution u = x2 )

        ergibt  mit der pq-Formel:  x = ± 2          →  y = ± 1

Also  z1 = 2 + i   ;   z2 = -2 - i

 Gruß Wolfgang

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