Bestimme jeweils Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl z, für die gilt: 1/z = 3 - 4i; ...

Question

Bestimme jeweils Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl z, für die gilt:

1:    1/z = 3 - 4i

2:      z² = 3 + 4i

3:      z³ = 27

4:      z³ = -27

Answer 1

1.

 1/z = 3 - 4i             |:(3-4i), *z

1/(3-4i) = z

z = 1/(3-4i) = (3+4i)/((3-4i)(3+4i)) = (3+4i)/(9+ 16) = (3+4i)/25
= 3/25 + 4/25 i

Re(z) = 3/25

Im(z) = 4/25

 

2:      z² = 3 + 4i

(x+iy)^2 = 3 +4i

x^2 - y^2 + 2xyi = 3 + 4i

Real- und Imaginärteil trennen. ==> 2 Gleichungen. 

2xy=4

x^2 - y^2 = 3

Nun geschickt auflösen

3:      z³ = 27

z1 = 3, z2 = 3*e^{i2π/3}, z3 = 3*e^{i4π/3}

z1 = 3, Re(z1)=3, Im(z1) = 0

z2 = 3*e^{i2π/3}, Re(z2) = 3*cos(2π/3) = -3/2, Im(z2) = 3*sin(2π/3) = 3*√3/2

z3 = 3*e^{i4π/3}, Re(z3) = -3/2, Im(z3) = -3√3/2

4:      z³ = -27

z1 = -3, z2 = 3*e^{iπ/3}, z3=3*e^{-iπ/3}

z1 = -3, Re(z1) = -3, Im(z1) = 0

z2 = 3*e^{iπ/3}, Re(z2) = 3/2, Im(z2) = 3√3/2 

z3=3*e^{-iπ/3}, Re(z3) = 3/2, Im(z3) = -3√3/2

Comments

Fast dasselbe wie hier: https://www.mathelounge.de/7386/berechnen-real-und-imaginarteil-aller-komplexen-zahlen-mit

Das Vorzeichen und Zahlen kannst du bestimmt selbst anpassen.

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können sie die Teilaufgaben 3 und 4 genauer erklären bitte? ich verstehe dort fast gar nichts, insbesondere wie sie auf z1, z2 und z3 kommen