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Aufgabe:

f(x) =7.5 - 0.5x^2

Auf dieser Parabel soll eine Tangente gefunden werden, die durch den Punkt P(8|0) geht. Durch welchen Punkt auf der Parabel geht diese Tangente?

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Standardvariante: Ein Punkt auf dem Graphen hat die Koordinaten (x| 7.5 - 0.5x²). Die Gerade durch diesen Punkt und den Punkt (8|0) hat den Anstieg \( \frac{7.5 - 0.5x^2 - 0}{x-8} \). Falls der Punkt (x| 7.5 - 0.5x²) der Berührungspunkt mit der Tangente ist, hat die Gerade durch beide Punkte den Anstieg f'(x) Zum Finden der Berührungsstelle löst man also den Ansatz \( \frac{7.5 - 0.5x^2 - 0}{x-8} =f'(x)\) nach x auf.


Mögliche Variante bei Quadratischen Funktionen:

Alle Geraden durch den Punkt (8|0) haben die Form y=mx+8.

Gleichsetzen mit \( y=7.5 - 0.5x^2 \) liefert, falls vorhanden, die Schnittpunkte von Gerade und Parabel. Für bestimmte m gibt es aber nicht zwei Lösungen, sondern nur eine. Dann hat man keine Schnittpunkte, sondern einen Berührungspunkt.

Avatar von 53 k 🚀
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Hallo Karsten,

Die allgemeine Punkt-Steigungsform einer Geraden lautet:$$g: \quad y(x) = m(x- x_0) + y_0$$D.h. die Gerade verläuft durch den Punkt \((x_0|\,y_0)\) und hat die Steigung \(m\). Das gilt genauso für eine Tangente. Der Stützpunkt ist der Berührpunkt \(B\) auf der Parabel und die Steigung ist die Steigung der Parabel in \(B\). Sei die Funktion der Parabel \(f(x)\) und liegt der Berührpunkt bei \(x=u\) und somit \(B\) bei \(B(u|\,f(u))\), so lautet die Tangentengleichung$$t: \quad y(x) = f'(u)(x-u) + f(u) $$In Deinem Fall ist $$f(u) = 7,5 - 0,5u^2 \\ f'(u) = -u$$und die konkrete Tangentengleichung in \(u\) lautet$$\begin{aligned}y(x) &= -u(x-u) + 7,5-0,5u^2 \\&= 0,5u^2 - ux + 7,5\end{aligned}$$Die Tangente muss durch den Punkt \(P(8|\,0)\) verlaufen, also ist$$y(8) = 0$$Einsetzen in die Tangentengleichung gibt:$$\begin{aligned} 0 &= 0,5u^2 -8u + 7,5 &&|\, \cdot 2\\ 0 &= u^2 - 16u + 15 &&|\, \text{pq-Formel}\\ u_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 15} \\ &= 8 \pm 7\\ \implies u_1 &= 1, \quad u_2 = 15 \end{aligned}$$Es gibt also zwei Tangenten durch \(P\) an die Parabel. Sie berühren die Parabel in \(B_1(1|\,7)\) und \(B_2(15|\,-105)\).

Das Bild zur Aufgabe:

blob.png

Der zweite Berührpunkt ging nicht auf's Bild.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Habe alles verstanden, vielen vielen Dank!!

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