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die Induktion mit "normalen Aufgaben" bekomme ich gerade so hin. :/

Bei folgenden Aufgaben blicke ich nicht mehr durch:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} \) = (\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k} \))² (->hier ist das Summe hoch zwei besonders verwirrend)

und

\( \sum\limits_{k=2}^{n}{\begin{pmatrix} k\\2 \end{pmatrix}} \) = \( \begin{pmatrix} n + 1 \\ 3 \end{pmatrix} \)  ( n ≥ 2) (->und hier alles :D)

Wenn mir das jemand etwas ausführlicher erklären könnte, wäre das sehr nett.

Danke



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Naa auch an der Uni Potsdam ? xD

LG ENEL ⚡⚡⚡

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So einen Ausdruck wie

$$\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} = \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2$$ schreibt man sich am besten für ein kleines \(n\) - z.B.: \(n=3\) mal hin:

$$\begin{aligned} 1^3 + 2^3 + 3^3 &= (1 + 2 +3)^2 \\ 1 +8 +27 &= 6^2 \\ 36 &= 36\end{aligned} $$ sieht doch ganz ok aus - oder? rechts steht eine Summe, die als ganzes noch mal quadriert wird. Für den Beweis per Induktion fehlt jetzt noch der Induktionsschritt:

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1} k^3 &= \left( \sum_{k=1}^n k^3 \right) + (n+1)^3 \\ &= \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \left(\sum_{k=1}^{n+1} k \right) - (n+1)\right)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 - 2\left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)(n+1) + (n+1)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 - 2\left(\frac12(n+1)(n+2) \right)(n+1) + (n+1)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 +(n+1)^2\underbrace{(- (n+2) + 1 + (n+1))}_{=0} \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ der 'Trick' besteht hier vielleicht darin, dass man weiß, wo man hin will. Also versuche vorhanden Terme so umzuformen, dass zumindest Teile des gewünschten Ergebnisses schon da stehen. Hier ist es der Schritt von der 2. zur 3. Zeile(s.o.).


zum zweiten Teil: $$\sum_{k=2}^n {k \choose 2} = { n+1 \choose 3}$$ Für \(n=2\) steht dort \(1=1\). Der Induktionsschritt:

$$\begin{aligned} \sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2} &= \left(\sum_{k=2}^n {k \choose 2} \right) + {n+1 \choose 2} \\&= { n+1 \choose 3} + \frac{(n+1)!}{2! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n+1)!}{3! \cdot (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n-1)(n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} + \frac{3(n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n-1+3)\cdot (n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n+2)!}{3! \cdot (n+2-3)!} \\&= {n+2 \choose 3} \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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