Bestimme \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{n!}{n^n} \)
Ich weiß nicht wie ich hier vor gehen muss, könnte mir hier vielleicht jemand helfen?
Eventuell beweisen, dass \(n^n\) schneller wächst als \(n!\).
Achtung, Fangfrage !
Es ist n! / n^n = n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * ... * 3/n * 2/n * 1/n
Der Grenzwert der ersten drei Faktoren für n -> ∞ ist 1, der Grenzwert der letzten drei Faktoren ist 0. An welcher Stelle springt das um, oder gibt es einen langsamen Übergang und irgendeiner der Faktoren hat mal den Grenzwert 1/2 ?
Zerlege den Term mal in ein Produkt von Einzelbrüchen:
...=(1/n)*(2/n)*(3/n)*...*(n-1)/n * n/n
Den ersten Faktor kannst du auch rausziehen:
...=(1/n)* [(2/n)*(3/n)*...*(n-1)/n * n/n]
Siehst du jetzt klarer?
Es ist natürlich klar das n^n schneller wächst als n!. Mein Problem besteht darin wie ich das anschreibe bzw. zeige. Mein Ansatz wäre
\( \frac{n}{n} \) * \( \frac{n-1}{n} \) * .... * \( \frac{1}{n} \) ⇒ 0
Darf ich das so hinschreiben?
Hinschreiben kannst du alles.
Aber du musst schon begründen, WARUM das gegen Null geht.
Den Ansatz dazu habe ich dir eigentlich geliefert.
