Bijektion zwischen Intervall und Äquivalenzklasse finden

Question

Sei F die Menge aller Funktionen f :[0,1]→[0,1]. Zeigen Sie, dass durch A1 = {(f,g)∈F×F|f(0)= g(0)}

Finden Sie eine Bijektion zwischen dem Intervall [0,1] und der Menge der Äquivalenzklassen von A1.

Ich verstehe Bijektionen und Äquivalentklassen an sich, aber ich verstehe nicht genau was von mir verlangt ist.

Ich soll eine Funktion finden die von [0,1] -> Menge der Äquivalentklassen bijektiv abbildet(?) Erstes Problem ist, inwiefern stellen die Äquivalenzklassen ein Intervall dar? Wenn es das selbe Intervall ist, wäre doch x->x eine zulässige bijektive Funktion oder?

Answer 1

Zwei Funktionen f und g , gehören zur gleichen Klasse, wenn

sie äquivalent sind, also f(0)=g(0) gilt. Oder kurz:  Bei 0 haben

alle zueinander äquivalenten Funktionen den gleichen Funktionswert.

Durch diesen Funktionswert ist sozusagen die Klasse charakterisiert.

Der Funktionswert ist aber nun auch wieder eine Zahl aus [0;1].

Also ist die gesuchte Bijektion:

h: [0;1] --->  F

      h(t) = { f ∈ F |  f(0)=t }

Comments

hmmmm das hilft meinem Verständnis auf jeden Fall weiter.

Eine Äquivalenzklasse können wir uns also definieren wie wir wollen, in dem Fall ist halt jede Funktion in der Äquivalenzklasse, die mit 0 als Parameter den selben Funktionswert ausspuckt, in dem Fall muss der zwischen 0 und 1 liegen.

Sry wenn ich mich gerade dumm anstelle^^, aber ist     "h: [0;1] --->  F

      h(t) = { f ∈ F |  f(0)=t } "  schon die Lösung? Muss man keine konkrete Funktion angeben? Ich hätte mir jetzt gedacht, dass f(x)->x eine solche bijektive Funktion ist....

---

Eine Äquivalenzklasse können wir uns also definieren wie wir wollen

Nein: Die Klassen sind durch die Relation bestimmt. Alle, die

zueinander äquivalent sind, gehören zur gleichen Klasse. Und die

haben dann alle bei 0 den gleichen Funktionswert. Wenn dieser Wert t ist,

dann ist die Klasse { f ∈ F |  f(0)=t } .