a) {x, y} l.u. und gelte für a,b ∈ℝ
a*x + b*y = 0-Vektor, dann muss a=b=0 folgen.
⇒ a*x1 + b*y1 = 0 und a*x2 +by2=0
⇒ a*x1*y2 + b*y1*y2 = 0 und a*x2*y1 +by2*y1=0
1.Gleichung minus zweite
⇒ a*x1*y2 - a*x2*y1=0
⇒ a*(x1*y2 - x2*y1)=0
Damit hieraus a=0 folgen muss, muss die Klammer ungleich 0 sein
und dann ergeben die ersten beiden Gleichungen von oben
b*y1=0 und b*y2=0 .
Und weil nicht y1=y2=0 ist (denn der 0-Vektor ist lin. abhängig)
folgt auch b=0.
Ist umgekehrt x1*y2 - x2*y1 ≠ 0 dann soll x,y lin.un. gezeigt werden.
Angenommen es ist x1*y2 - x2*y1 = 0 .
Wären x1 und x2 beide 0, wäre x der Nullvektor,also
lin. abhängig. Sei also eines von beiden ungleich 0.
o.B.d.A. x1 ≠ 0
==> y2 = x2*y1/x1 also ist der Vektor y
y1
x2*y1/x1
und wenn man den mit x1 ≠ 0 ! multipliziert hat man
x1y1
x2y1
Das ist das y1 - fache vom Vektor x, also ist
y ein Vielfaches von x und damit sind x,y lin. abhängig.
dann gilt a=b=0
⇐⇒ Falls für a,b ∈ℝ gilt a*x1 + b*y1 = 0 und a*x2 +by2=0
dann gilt a=b=0
⇐⇒ nicht: {x, y} l.a.
⇐⇒ nicht: Es gibt z∈ℝ z*x=y
⇐⇒ nicht: Es gibt z∈ℝ z*x1=z*y1 und z*x^2= z*y2
x1y2 − x2y1 ungleich 0.
