0 Daumen
95 Aufrufe

Zeigen Sie:


(a) Sind x = (x1, x2) und y = (y1, y2) Vektoren aus R^2, so gilt
{x, y} l.u. ⇐⇒ x1y2 − x2y1 ungleich 0.
(b) Sind x = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , yn) Vektoren aus Rn mit n ≥ 2, so gilt
{x, y} l.u. ⇐⇒ Es gibt i ungleich j mit xiyj − xjyi ungleich 0.



Könnte mir jemand beim lösen dieser Aufgabe helfen?

Gefragt von

1 Antwort

+1 Punkt

a) {x, y} l.u. und gelte  für a,b ∈ℝ

           a*x + b*y = 0-Vektor, dann muss a=b=0 folgen.

⇒        a*x1 + b*y1 = 0  und  a*x2 +by2=0

⇒        a*x1*y2 + b*y1*y2 = 0  und  a*x2*y1 +by2*y1=0

1.Gleichung minus zweite

⇒        a*x1*y2 - a*x2*y1=0

⇒        a*(x1*y2 - x2*y1)=0

Damit hieraus a=0 folgen muss, muss die Klammer ungleich 0 sein

und dann ergeben die ersten beiden Gleichungen von oben

            b*y1=0   und b*y2=0 .

Und weil nicht y1=y2=0 ist (denn der 0-Vektor ist lin. abhängig)

folgt auch b=0.

Ist umgekehrt x1*y2 - x2*y1 ≠ 0 dann soll x,y lin.un. gezeigt werden.

Angenommen es ist   x1*y2 - x2*y1 = 0 .

Wären x1 und x2 beide 0, wäre x der Nullvektor,also

lin. abhängig.  Sei also eines von beiden ungleich 0.

 o.B.d.A. x1 ≠ 0

==>       y2 = x2*y1/x1 also  ist der Vektor y

                  y1

                 x2*y1/x1

und wenn man den mit x1  ≠ 0 !   multipliziert hat man

                           x1y1
                           x2y1

Das ist das y1 - fache vom Vektor x, also ist

y ein Vielfaches von x und damit sind x,y lin. abhängig.








            dann gilt a=b=0

⇐⇒  Falls für a,b ∈ℝ gilt            a*x1 + b*y1 = 0  und  a*x2 +by2=0

          dann gilt a=b=0



⇐⇒  nicht:   {x, y} l.a.

⇐⇒  nicht:    Es gibt z∈ℝ       z*x=y

⇐⇒  nicht:    Es gibt z∈ℝ       z*x1=z*y1  und  z*x^2= z*y2 


x1y2 − x2y1 ungleich 0.

Beantwortet von 149 k

Super, danke für deine Hilfe. Könntest du mir auch bei Aufgabe b helfen?

Die Richtung ==>  vielleicht so:

Wenn sie lin.abh. sind muss für alle Paare (i,j)

xiyj − xjyi gleich 0 gelten.

Andererseits heißt

x = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , yn) lin. abh. auch:

Es gibt ein z ∈ℝ   mit x*z = y also

xi*z=yi für alle i und damit

xiyj − xjyi  = xi*z*xj − xj*z*xi   also gleich 0.

Und umgekehrt, wenn es für alle = 0 ist,

dann  xiyj = xjyi  und dann sind alle definierten

Quotienten  yi/xi  gleich.  Und mindestens einer

ist ja definiert, da x nicht der Nullvektor ist.

Und dieser Quotient ist dann das z.

Danke, hat mir auch geholfen. Übungsserie aus Jena? ^^

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...