Ich soll untersuchen für welche c ∈ℝ f-1(c) eine Mannigfaltigkeit ist, wobei f(x,y)=(x2+y2)2-2x2+2y2+1.
f liegt im Intervall mit x≥0 und x< unendlich.
Die Ableitungen sind
fx(x,y)=4x(x2+y2-1)
fy(x,y)=4y(x2+y2-1)+8y
Die kritischen Punkt erhält man, indem man die Ableitung =0 setzt und die liegen bei (0,0),(-1,0) und (1,0).
f(0,0)=1, f(-1,0)=0 und f(1,0)=0. Somit erhält man die kritischen Wert 0 und 1.
f besteht aus zwei isolierten absoluten Minimalstellen, da 0 der kleinste Wert ist, den die Funktion annimmt.
Bis hierher ist mir alles klar.
f-1(0) bildet eine Mannigfaltigkeit der Dimension 0
f-1(1) ist keine Mannigfaltigkeit
Kann mir das jemand erklären? Woher weiß ich dass f-1(0) eine Mannigfaltigkeit bildet und f-1(1) nicht?
