Vektorraum der stetigen Funktionen, Normen

Question

Hallo miteinander,

es ist a<b und C⁰([a,b]) der Vektorraum der stetigen Funktionen auf [a,b].

$$||f||_1 := \sqrt {\int_{a}^{b}f(x)^2dx}$$

$$||f||_2 := \underset{a\le x \le b}{sup} |f(x)|$$

Es soll nun gezeigt werden, dass es ein c>0 gibt, sodass

$$||f||_1 \le c ||f||_2$$

für alle f in C⁰([a,b]). Für den endlichdimensionalen Fall bin ich bereits auf eine Lösung gekommen, mir ist jedoch leider nicht klar wie man dies beweist wenn [a,b] nicht endlich ist. Hat dazu jemand eine Lösung/einen Ansatz für mich?

Answer 1

schätze den Integranten ab : f(x)²=|f(x)|²

<=(sup |f(x)| )²

Das ist unter dem Integral konstant und kann vorgezogen werden. Es ergibt sich also c=sqrt(b-a)

Comments

So habe ich den endlichen Fall bewiesen. Aber für den unendlichen Fall (z.b. b unendlich) wäre es ja dann:

$$||f||_1 := \sqrt {\underset {b->∞} {lim} \int_{a}^{b}f(x)^2dx} \le \sqrt {\underset {b->∞} {lim} \int_{a}^{b} \underset{a\le x \le b}{(sup} |f(x)|)^2 dx}=\underset{a\le x \le b}{sup} |f(x)| \sqrt {\underset {b->∞} {lim} \int_{a}^{b} 1dx} =\underset{a\le x \le b}{sup} |f(x)|*\infty$$

Damit wäre  ja keine Konstante c>0 gegeben oder habe ich hier das Problem falsch interpretiert? Es handelt sich hier ja dann schon um ein uneigentliches Integral, oder?

Ps: habe oben ausversehen endlich-dimensional statt endlich geschrieben

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Denn Fall b gegen unendlich musst du nicht betrachten. Das entspricht nicht der Aufgabenstellung.

Schlage die Definition von

C⁰([a,b]) nach.

Sonst wären die entsprechenden Normen auch gar nicht definiert, da in den meisten Fällen oo rauskäme.

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Oh, [a,b] muss ja laut Definition kompakt und somit beschränkt sein. Das Detail habe ich übersehen. Vielen Dank für deine Hilfestellung!