Vollständige Induktion: Summe k * 2k = (n-1) * 2n+1 + 2

Question

Ich soll die Induktion für folgende Aufgabe zeigen:

$\sum\limits_{k=1}^{n}{k * 2}$ ^k = (n-1) * 2ⁿ⁺¹ + 2

Ich habe bis jetzt:

IA: für n = 1 kommt bei beiden 2 raus, stimmt also

IV: $\sum\limits_{k=1}^{n}{k * 2}$ ^k = (n-1) * 2ⁿ⁺¹ + 2

IS: Zu beweisen : $\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k * 2}$ ^k = ((n+1)-1) * 2^(n+1)+1 + 2

Beweis: $\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k * 2}$ ^k = $\sum\limits_{k=1}^{n}{k * 2}$ ^k + (n+1) * 2ⁿ⁺¹ 

= (n-1) * 2ⁿ⁺¹ + 2  + (n+1) * 2ⁿ⁺¹

^{Hier hab ich jetzt viel rumgerechnet, bin aber nicht zum richtigen Ergebnis gekommen..}  

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen von Summenformel

Stichworte: summenformel,induktion,geometrische-reihe

ich hab hier eine Aufgabe bzw. mehrere aber an einer komme ich wirklich 0 weiter... jemand eine Idee? :/

Also wenigstens der Anfang wäre hilfreich damit ich das zu ende rechnen kann aber ich weiß es halt echt nicht. ^^

Also die Aufgabe lautet "Beweisen Sie, dass die folgenden Summenformeln für alle n ∈ N gelten.

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Hat sich schon geklärt! :) Hab es herausbekommen! :D

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Klammere als nächstes 2ⁿ⁺¹ aus.

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(n-1) * 2ⁿ⁺¹ + 2  + (n+1) * 2ⁿ⁺¹

= 2ⁿ⁺¹ * (n-1) * (n+1) + 2

so?

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= 2^{n+1} * ((n-1) + (n+1)) + 2

Vielleicht auch so (?) :)

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Ups..ausklammern sollte man schon können, danke!

Aber wie mache ich dann weiter? Ich sehe nicht, wie ich die IV da mit einbauen kann, so dass der Ausdruck für n+1 gilt. Ich weiß immer nicht, wie die Leute auf sowas kommen...ich würde jetzt einfach rumrechnen bis ich durch zufall das richtige Ergebnis bekomme :(

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((n-1) + (n+1)) = ? 

Tipp: In Induktionsbehauptung ebenfalls die inneren Klammern auflösen.

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (k·2^k) = 2^{n + 1}·(n - 1) + 2

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k·2^k) = 2^{1 + 1}·(1 - 1) + 2
1·2¹ = 2²·0 + 2
2 = 2
wahr

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) = 2^{n + 1 + 1}·(n + 1 - 1) + 2
∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n + 2
2^{n + 1}·(n - 1) + 2 + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n + 2
2^{n + 1}·(n - 1) + (n + 1)·2^{n + 1} = 2^{n + 2}·n
2^{n + 1}·(n - 1 + n + 1) = 2^{n + 2}·n
2^{n + 1}·(2·n) = 2^{n + 2}·n
2^{n + 2}·n = 2^{n + 2}·n
wahr

Comments

ich muss mir das mal aufschreiben und nachvollziehen, danke schonmal

Answer 2

((n-1) + (n+1)) = ? 

Tipp: In Induktionsbehauptung ebenfalls die inneren Klammern auflösen. ==> = n * 2ⁿ⁺² + 2

Nun deine Rechnung:

= 2ⁿ⁺¹ * ((n-1) + (n+1)) + 2

= 2ⁿ⁺¹ * 2n + 2

= n * 2^{n+1 + 1} + 2

= n * 2ⁿ⁺² + 2

q.e.d.

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Ich hatte die letzten Tage viel zu tun, sorry für die späte Antwort. Habs rausbekommen, danke dir!