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Aufgabe:

Sei D der Bereich, der von den Kurven

C1(t)=(2πt+sin(t),1cos(t)) C _ { 1 } ( t ) = ( 2 \pi - t + \sin ( t ) , 1 - \cos ( t ) ) ^ { \top }

und

C2(t)=(t,0) C _ { 2 } ( t ) = ( t , 0 ) ^ { \top }

mit t[0,2π] t \in [ 0,2 \pi ] begrenzt wird. Bestimmen Sie s2 s_2 , wenn S=(s1,s2)R2 S = \left( s _ { 1 } , s _ { 2 } \right) ^ { \top } \in \mathbb { R } ^ { 2 } den Schwerpunkt von D bezeichnet, mit Hilfe des Satzes von Green in der Ebene. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Stellen Sie s2 s_2 in Form von Flächenintegralen dar.

b) Nutzen Sie den Satz von Green, um die Flächenintegrale zu berechnen.

Die Fläche um die es geht ist die Fläche zwischen der x-achse und c_1. c_2 stellt die Achse dar:

jkgjkg.JPG

Ich glaube s_2 ist y_s des Schwerpunkts und das sollte man doch mit der folgenden Formel ausrechnen können:

ys=ab ⁣f2(x)dx2ab ⁣f(x)dxy_{s} = \frac{\int_{a}^{b} \! f^{2} (x) \, dx }{2\int_{a}^{b} \! f(x) \, dx }

Wie aber stelle ich s_2 als Flächenintegral dar?

Wie wende ich den Satz von Green hier an?

Avatar von

also habe nun rausgefunden, dass die formel für y_s zwar richtig sein müsste. ist aber kein flächenintegral... also für diese aufgabe falsch.


richtig müsste so sein:

02π ⁣02π ⁣f(x)dxdy\int_{0}^{2\pi } \! \int_{0}^{2\pi } \! f(x) \, dx \, dy

oder?

zu b; was muss ich da jetzt genau für f(x) einsetzen? wie kann ich das nun mit dem satz von green lösen? im script stand irgebdwas von =1, dann kann man das einfach mit einem kurvenintegral lösen..

mfg

1 Antwort

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Hallo

 du tust so, als hättest du die Kurve als Graph einer Funktion gegeben. Weisst du nicht wie man Flächen zwischen Kurven c(t) ausrechnet?

dann siehe in https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Flächen nach.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

ok hab das jetzt einige formeln... wie wende ich die an?

habe hier auch den satz von greeen

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Vektoranalysis/Fo…

bringt mich aber nicht weiter...

mfg

hmm... ist dieser ansatz richtig?

ys=C ⁣12Ay2dxy_{s} = \int_{C}^{} \! \frac{1}{2A} y^2 \, dx

wenn ja, wie bestimme ich jetzt A? und die int. grenzen sind 0 bis 2 PI?

A geht ja nicht mit der normalen ellipsenformel oder? das is ja mehrdimensional?

mfg

sry... das ist nicht mehrdimensional... sondern ist keine richtige ellipse, sondern ja ne kurve die mit der x-achse eine fläche einschließt...

mfg

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