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Berechnen Sie das Flächenintegral \( \int \limits_{\partial V} \mathbf{A}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \) über die Oberfläche des Quaders

\( \mathbf{A}(\mathbf{r})=\left(\begin{array}{c} x y^{2} \\ 3 x^{2} y \\ 0 \end{array}\right) \)
mithilfe des Satzes von Gauß.

Screenshot_20220424-165319.png


Moin, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Prinzipiell weiß ich, was zu tun ist, allerdings bin ich mir bei den Grenzen der Integrale unsicher. Wie viele Integrale gibt es und wie sind die Grenzen dabei?

Falls jemand Zeit hätte und die Aufgabe mal vorrechnen könnte, wäre ich sehr dankbar. Oder ein paar gute Ansätze

von

2 Antworten

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Aloha :)

Wir führen das Flächenintegral mit Hilfe des Gauß'schen Satzes \((d\vec f=dV\,\vec\nabla)\) auf ein Volumenintegral zurück:

$$I=\oint\limits_{\partial V}\vec A(\vec r)\,d\vec f=\oint\limits_{\partial V}d\vec f\,\vec A(\vec r)=\int\limits_VdV\,\vec\nabla\vec A(\vec r)=\int\limits_V\left(y^2+3x^2\right)dV$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;\int\limits_{z=0}^c(3x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;\left[(3x^2+y^2)z\right]_{z=0}^c\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=c\int\limits_{x=0}^a\;\int\limits_{y=0}^b\;(3x^2+y^2)\,dy\,dx=c\int\limits_{x=0}^a\;\left[3x^2y+\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^bdx=c\int\limits_{x=0}^a\;\left(3x^2b+\frac{b^3}{3}\right)dx$$$$\phantom{I}=c\left[x^3b+\frac{b^3}{3}x\right]_{x=0}^a=c\left(a^3b+\frac{b^3}{3}a\right)=\frac{abc}{3}\left(3a^2+b^2\right)$$

von 118 k 🚀
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Hallo

ein Volumenintegral ist immer ein Dreifachintegral Grenzen : x von 0bis Boy von 0 bis a, z von 0 bis c.

Statt dass dir jemand vorrechnet, kannst du ja dine Rechnung eintippen und wir korrigieren, du sagst ja dass du es eigentlich kannst.

lul

von 86 k 🚀

War mir bei den Grenzen unsicher, da z 0 ist. Wie muss ich die oberen Grenzen der Integrale festlegen, damit ich es integrieren kann?

Hallo

ich habe doch alle Grenzen hingeschrieben, die haben nicht mit A oder divA zu tun, nur mit dem Quader?

lul

Aber wie soll ich den bis a bzw. b und c integrieren. Das würde nicht funktionieren.

Hallo

versteh ich nicht: nach x integrieren, dann 0 und b einsetzen, das Ergebnis nach y integrieren dann die Grenzen einsetzen , dann dasselbe mit z

sonst schreib mal auf was du hast. was ist denn divA?

Gruß lul

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