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Hallo Zusammen,

komme leider bei der folgenden Aufgabe nicht voran. Bin für jeden Tipp oder Denkanstoß dankbar.

Es sei G:={a+b 2:a,b∈Q}⊂(R,+,·).
(a) Zeigen Sie
• G ist eine Untergruppe von (R, +).
• (Q, +) ist eine Untergruppe von (G, +).
(b) Zeigen Sie, dass (G, ·) ein Monoid ist. Bestimmen Sie die Einheiten in (G, ·). Ist (G \ {0}, ·) eine Untergruppe von (R \ {0}, ·)?

LG

von

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Es sei G:={a+b*√2:a,b∈Q}⊂(R,+,·).    Mit Wurzel ???
(a) Zeigen Sie
• G ist eine Untergruppe von (R, +).

Dazu brauchst du nur :    0 ∈ G  ( ist klar für a=b=0) und Abgeschlossenheit bei +

zeigst du durch  (a+b*√2) + {c+d*√2) = (a+c) + (b+d)√2  mit a,b,c,d sind auch a+c und b+d aus Q


• (Q, +) ist eine Untergruppe von (G, +).   Das sind die mit b=0. Auch das ist gegenüber + abgeschlossen.


(b) Zeigen Sie, dass (G, ·) ein Monoid ist.

   assoziativ ist ja von (R,*) geerbt.  neutrales Element ist    1+0*√2

Bestimmen Sie die Einheiten in (G, ·).

dazu musst du schauen, wann 1 / (a+b√2) in G existiert. Erweitern mit (a-b√2)

gibt  (a-b√2) / (a^2 - 2b^2) und wenn der Nenner nicht 0 ist, hast du das Inverse zu

(a+b√2) nämlich   a / (a^2 - 2b^2)    + b /  (a^2 - 2b^2)   *√2 .

Einheiten sind also alle, für die a^2 - 2b^2 nicht 0 ist .

Da wäre (außer bei 0 ) dann a^2 = 2b^2 bzw.  a^2 / b^2 = 2

also    a/b = √2   oder   a/b = -√2  was für

Elemente von Q nicht möglich ist.


 Deshalb ist  (G \ {0}, ·) eine Untergruppe von (R \ {0}, ·).

von 156 k

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Gefragt 27 Nov 2014 von Gast

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