Es sei K ein angeordneter Körper: Zeige x < 2/((1/x)+(1/y) ≤ (x + y)/2 < y.

Question

1. Es sei \( K \) ein angeordneter Körper und \( x, y \in K \) mit \( x<y . \) Beweisen Sie $$ x<\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \frac{x+y}{2}<y $$

Erinnerung: Es ist \( 2:=1+1 \)

2. Es sei K ein angeordneter Körper und seien a, b, λ ∈ K mit λ > 0.  Beweisen  Sie die Ungleichungen:

|ab| ≤ (1/2λ)*a² + (λ/2)*b²       und     4ab ≤ (a + b)².

Erinnerung: Es ist 4 := 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 und x² := x · x für x ∈ K.

Hinweis: Betrachten Sie (a ± λb)².

Comments

@Inkeyes: Auch die Aufgabe 2 findest du im Duplikat bereits mit einer Antwort.

Hier zwei Versionen ohne Antwort bisher: https://www.mathelounge.de/584644/sei-ein-angeordneter-korper-und-seien-ungleichung-4ab-zeigen

Answer 1

Für einen Teil wohl so:

x < y   |  +y

x+y <  y + y = (1y + 1y) = (1+1)*y = 2*y   |  :2 (bzw. * Inverses von 2 )

und wegen 0<1 gilt auch   0<2

(x+y)/2   <  y  .