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Ich soll die Maxima der Funktion f(x,y,z)=xy2z3 ,x,y,z>0 unter der Nebenbedigung x+2y+3z=6 bestimmen.

Es ist F(x,y,z,λ)=xy2z3 +λ( x+2y+3z-6)

Dann ist

Fx=y2z3+λ=0

Fy=2xyz3+2λ=0

Fz=3xy2z2+3λ=0

Fλ=x+2y+3z-6=0

Auflösen nach λ und gleichsetzen ergibt

-y2z3=-xyz3             und          -xyz3=-xy2z2

yz3(-y+x)=0                                xyz2(-z+y)=0

Da x,y,z>0 folgt x=y und y=z also insgesamt x=y=z.

Setzt man das in Fλ ein erhält man x=y=z=1 und λ=-1. Stimmt das so?

Avatar von

1 Antwort

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Na, das sieht doch sehr gut aus.

Avatar von 287 k 🚀

Danke.

Und wie prüfe ich jetzt dass tatsächlich ein Maximum vorliegt? Oder muss ich das gar nicht mehr machen?

Hat mich auch schon gewundert.

Wenn natüprlich bekannt ist, dass es nur ein Extremum gibt

und dieses ein Maximum ist, und du

findest nur einen Kandidaten, ist ja Schluss.

Ansonsten mit der Hesse-Matrix:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geränderte_Hesse-Matrix

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