Äquivalenz der Aussagen zeigen. (i) f ist bijektiv. (ii) f ist injektiv. (iii) f ist surjektiv. f: A → A ist Funktion

Question

Es seien A = {a, b, c} und B = {a, b, c, d} mit paarweise verschiedenen Elementen
a, b, c, d und es sei f : A → A eine Funktion. Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden ¨
Aussagen.
(i) f ist bijektiv.
(ii) f ist injektiv.
(iii) f ist surjektiv.
Welche Eigenschaft war fur den Beweis entscheidend? Gibt es eine bijektive Funktion g : A → B?

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Vom Duplikat:

Titel: Es seien A = {a, b, c}. Äquivalenz von (i) f ist bijektiv. (ii) f ist injektiv. (iii) f ist surjektiv zeigen

Stichworte: äquivalenz,injektiv,bijektiv,surjektiv,endliche

Es seien A = {a, b, c} und B = {a, b, c, d} mit paarweise verschiedenen Elementen
a, b, c, d und es sei f : A → A eine Funktion. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden ¨
Aussagen.
(i) f ist bijektiv.
(ii) f ist injektiv.
(iii) f ist surjektiv.
Welche Eigenschaft war fur den Beweis entscheidend? Gibt es eine bijektive Funktion g : A → B?

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Vom Duplikat:

Titel: Es seien A = {a, b, c} und B = {a, b, c, d}

Stichworte: äquivalenz

Es seien A = {a, b, c} und B = {a, b, c, d} mit paarweise verschiedenen Elementen
a, b, c, d und es sei f : A → A eine Funktion. Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden ¨
Aussagen.
(i) f ist bijektiv.
(ii) f ist injektiv.
(iii) f ist surjektiv.
Welche Eigenschaft war fur den Beweis entscheidend? Gibt es eine bijektive Funktion ¨
g : A → B?

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Vom Duplikat:

Titel: Es seien A = {a, b, c} und B = {a, b, c, d}

Stichworte: elemente,äquivalenz,funktion,aussagen

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe bitte helfen?

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Tipp: Tut euch zusammen. Es hat wenig Sinn, wenn jeder von euch einfach die Fragen abtippt. Ihr braucht wohl nicht jeder eine andere Antwort (?)

Answer 1

Für den ersten Teil ist entscheidend, dass A eine endliche Menge ist.

Deshalb gibt es auch im 2. Teil die Antwort: Nein !

Für den ersten Teil brauchst du eigentlich nur

f Injektiv <=>  f surjektiv

Kann man wohl so begründen:

Sei f Injektiv und angenommen f wäre nicht surjektiv,

dann gibt es ein x ∈ A, das nicht als Bild vorkommt.

Damit bleiben für die 3 Elemente von A nur zwei verschiedene

Bilder, also müssen mind. zwei das gleiche Bild haben.

Widerspruch zur Injektivität.

umgekehrt:  f surjektiv heißt: Alle drei Elemente von A

kommen als Bilder vor. Da es aber nur 3 Elemente gibt,

denen etwas zugeordnet wird, können nicht mehrere

das gleiche Bild haben, also f Injektiv.

Answer 2

Hallo

 wie genau habt ihr den Begriff Funktion definiert, das musst du benutzen.

Gruß lul

Comments

In der Mathematik ist eine Funktion  oder Abbildung eine Beziehung  zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable zuordnet

So haben wir es definiert