Scherungsmatrix und Koordinaten bestimmen

Question

Sei 0 < a <1. Die Scherungsmatrix S ∈ M₂(ℝ) entspricht der linearen Abbildung,die das Einheitsquadrat Q auf das Parallelogramm P abbildet. (Abbildung im Anhang)

Aufgabe:

Bestimmten Sie S 

und bestimmen Sie die Koodinaten der Punkte (1+a, 1)^T und (1, a)^T bezüglich der Basis ((1,0)^T , (a, 1)^T)

ich finde leider keinen Ansatz um die Aufgabe zu lösen, kann mir jemand helfen bitte?

Answer 1

Die Matrix einer linearen Abb. hat in den Spalten die

Bilder der kanonischen Basisvektoren

1
0

bleibt fest, wird also abgebildet auf

1
0

Und

0
1

wird abgebildet auf 
a
1

also ist die Matrix   S =

1    a
0    1

Zu den Koordinaten

(1+a, 1)T  = x*(1,0)T +y* (a, 1)T

gibt  1+a = x + y*a   und   1 =  y*1

also 1+a = x + a

       ==>   x=1  und  y = 1 .  (Koo. für den 1. Punkt)

Entsprechend

(1, a)T  = x*(1,0)T +y* (a, 1)T

1 = x + y*a   und  a =  y

1 = x + a^2

x = 1 - a^2   und  y = a