Zeigen Sie dass es keine Lineare Abbildung gibt mit :

Question

Zeigen Sie dass es keine lineare Abbildung  F: ℝ³-> ℝ² gibt mit

F(1,2,3)=(1,1), F(-2,3,1)=(1,0), F(-1,5,4) = (0,1)

Answer 1

Es müsste F(1,2,3) + F(-2,3,1) - F(-1,5,4) = F(0,0,0)= (0,0) gelten, ist es aber nicht.

Comments

Wie komme ich auf diese Gleichung ?

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Er hat sie gesehen.

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Bekanntlich bildet eine lineare Abbildung (0,0,0) auf (0,0) ab. Finde also eine Linearkombination deiner drei vorgegebenen Vektoren, die den Nullvektor liefert und rechne nach.

Answer 2

Angenommen, es wäre doch möglich.

Dann müsste es eine Matrix \( \begin{pmatrix} a & b& c\\ d & e& f \end{pmatrix} \) geben mit

\( \begin{pmatrix} a & b& c\\ d & e& f \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 2\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\) und

\( \begin{pmatrix} a & b& c\\ d & e& f \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\ 3\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}\).

Aus diesen Bedingungen sollten a, b, c, d, e, f durch Lösen der entsprechenden Gleichungssysteme ermittelt werden können.

Teste dann, ob mit diesen Werten auch

\( \begin{pmatrix} a & b& c\\ d & e& f \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\ 5\\4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}\) erfüllbar ist.