Taylorentwicklung, ln(x)

Question

Führen Sie eine Taylor-Reihenentwicklung von ln(x) um den Entwicklungspunkt x0= a > 0 durch und bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylor-Reihe in Abhängigkeit von a.

Mein Vorschlag:

Ich habe erst einmal alle Ableitungen gebildet.

f(x)=ln x

f'(x)= 1/x

f''(x)= -1/x²

f'''(x)=2/x³

f^IV (x)= - 6/x⁴

und den Entwicklungpunkt a eingesetzt, also das x wird in den obigen Ableitungen durch a ersetzt.

Folglich komme ich auf das Taylorpolynom:

T(x)= ln(a)/(0!) (x-a)⁰ + 1/a/(1!) (x-a) - 1/a²/(2!) (x-a)² + 2/a³/(3!) (x-a)³ - 6/a⁴/(4!) * (x-a)⁴

stimmt es denn so? man sieht, dass die Vorzeichen alternieren, könnte man deshalb schreiben aufsummiert von k=0 bis unendlich für (-lnx)^k/k! ?

Würde mich über eine schnelle Antwort freuen ;)

Answer 1

Hallo

1. bis jetzt richtig, und ja du kannst es als Summe schreiben, aber was du mit (-lnx)k/k! meinst verstehe ich nicht, es kommen doch nur Summanden (-1)^{k+1 *}1/(a^k*k!)*(x-a)^k vor, nur der erste mit ln(a) ist anders.

Gruß lul

Comments

Ich wusste nur nicht, wie ich das am Ende generell hinschreiben hätte können, dass die Vorzeichen alternieren. Das Ergebnis wäre also die Summe aus (-1)^k+1 /(a^k *k!) * (x-a)^k?

Wie bestimme ich nun zu den Konvergenzenradius der Taylorreihe?

Und was meinst Dumit ln(a) ist anders?

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Hallo

 du hast ein + statt * nach dem (-1)^k+1, aber das 0 tr Glied ist doch ln(a) also von anderer Form.

Da du eine alternierend Reihe hast, müssen die Beträge der Summanden eine monotone Nullfolge bilden (Leibnizkriterium)

Gruß lul

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Ich habe als Taylorpolynom

T(x) = die Summe aus k=0 bis ∞ für ln(a) + ((-1)^k+1 )/(a^k+k!) * (x-a) ^k

Stimmt es nun so? Den Konvergenzradius würde ich mit  dem Quotientenkriterium errechnen?

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Aber was wäre dann mein ak?

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Auch gilt ln(a)≠ 1, denn ln(a)/0! = ln(a)/1=ln(a)

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Hallo jetzt hast du dem Nenner ein + statt * verliehen?

und warum nicht Leibniz? was machst du beim Quotientenkriterium mit den alternierenden Vorzeichen?

Gruß lul

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Oh, einen Moment.

T(x) = die Summe aus k=0 bis ∞ für ln(a) + ((-1)^k+1 )/(a^k*k!) * (x-a)^k. So? War ein Tippfehler. Beim Quotientenkriterium würde ich ak entsprechend einsetzen es gilt |ak/ak+1|. Aber was ist mein ak? "a^k*k!" ?

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hallo

a_k=(-1)(k+1)*1/(k!*a^k)  mit oder ohne (x-a)^k

 warum reagierst du nicht wirklich auf meine posts?

Gruß lul

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und warum nicht Leibniz?

Ich kenne Leibniz nur von den Integralen, aber nicht bezüglich des Konvergenzradius.

was machst du beim Quotientenkriterium mit den alternierenden Vorzeichen?

Ich nutze ganz normal das Quotientenkriterium und forme um, wie oben beschrieben?  Dabei lasse ich am Ende k gegen eine beliebig grosse Zahl laufen.

warum reagierst du nicht wirklich auf meine posts?

?

Edit: Ist der Konvergenzradius -1?

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Ist der Ansatz richtig?:

((-1)^k+1)/(a^k*k!)

|((-1)^(k+1)+1)/(a^k+1*(k+1)!)/ ((-1)^k+1)/(a^k*k!) | ? Weiter komme ich nicht. Man könnte noch den Doppelbruch umschreiben, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, aber ich komme nicht auf den richtigen Konvergenzradius.

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Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

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alternierend Reihen kann man nicht mit Quotientenkriterium untersuchen. Unmöglich, dass ihr kein Leibnizreihen hattet.

Gruß lul

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Könntest Du mir die Kontrolllösung nennen, damit ich nochmal nachrechnen und auf das Ergebnis kommen kann?

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Hallo

 was nennst du Kontrollösung? was willst du nachrechnen, deine Reihe ist richtig.

Gruß lul