Hab den Tipp bekommen (a) mit der Linearen Hülle zu prüfen.
Der ist doch gut: Die Mengen erzeugen den gleichen Unterraum, wenn die
linearen Hüllen gleich sind.
Dazu genügt es zu überlegen, dass {a, b, c} Teilmenge der linearen
Hülle von {x, y, z} ist (Ich schreibe <x,y,z> für die Hülle) und umgekehrt
{x, y, z} von <a, b, c> ist .
Zum ersten: a ∈ <x, y, z> heißt: Gibt es eine Linearkombination von
{x, y, z} für a ? Ja, denn es ist -1/2 * x + 1/2 * y + 1/2 * z = a ,
also a ∈ <x, y, z> . Entsprechend auch b,c ∈ <x, y, z> .
Und umgekehrt: x ∈ <a, b, c> ja, denn
x = 0*a + 1*b + 1*c .
etc.
b) Verwende : a,b,c lin. unabhängig <=>
Für alle r,s,t ∈ℝ gilt r*a+s*b+t*-c=0-Vektor ==> r=s=t=0.
Nimm an es seien a,b,c lin. unabh. und
r*(b+c) + s*(c+a) + t*(a+b) = 0
==> (s+t)*a + (r+t)*b + (r+s)*c = 0
Da a,b,c lin. unabh. sind, sind alle
Klammern gleich 0, also
s+t = 0 und r+t=0 und r+s=0
also etwa s=-t in die 3. einsetzen
r-t=0
zusammen mit der 2. gibt das r=0
und mit den anderen dann auch s=t=0.
Dann umgekehrt aus x,y,z lin. unabh.
auch a,b,c lin. unabh. folgern.
