Bilinearität des Skalarprodukts beweisen?

Question

Man überprüfe die Bilinearität des Skalarprodukts:
(u + v) · w = u · w + v · w                 für u,v,w ∈ R3

u · (v + w) = u · v + u · w                  für u,v,w ∈ R3

(λu) · v = λ(u · v) = u · (λv)              für u,v ∈ R3,λ ∈ R

Ich verstehe die folgende Fragestellung nicht und es kommen bei mir folgende Fragen auf;

Was ist der Unterschied zwischen Linearität und Bilinearität?

Wie soll ich irgendeine Art Linearität beweisen, wenn ich nur variablen habe?

Muss ich zur Lösung die Komponenten aufteilen wie z.B (u1, u2, u3) oder reicht es wenn ich einfach mit u und v rechne?

Leider habe ich keinen Lösungsansatz, ich erwarte auch keineswegs, dass jemand alle drei Gleichungen bearbeitet oder so, ich weiß leider nur nicht, wie ich mein Problem sonst beschreiben soll.

Vielen Dank

Comments

Du kennst vielleicht lineare Abbildungen von Vektorräumen:

f: V -> W

Diese erfüllen dann f(v+w)=f(v)+f(w) und f(a*v)=a*f(b). Diese Eigenschaft heißt Linearität. Wie du das hier nachrechnen musst weißt du sicherlich. Ein Skalarprodukt ist jetzt aber eine Abbildung mit ZWEI Argumenten. Du ordnest ja jeweils zwei Vektoren ihr Skalarprodukt zu:

$$\langle \cdot,\cdot\rangle: V\times V \to \mathbb{R} $$

(Die eckigen Klammern sind eine alternative Schreibweise u·v=<u,v>). Bilinearität heißt jetzt nichts anderes als "zweifache, doppelte" Linearität. Also in der ersten Komponente:

<u+v,w>=<u,w>+<v,w>
<au,w> = a<u,w>

Aber auch in der zweiten:

<u,v+w>=<u,v>+<u,w>
<u,aw> = a<u,w>

Dein Ansatz mit u=(u1 u2 u3) und v=(v1 v2 v3) ist schon ganz gut. Setz das oben einfach mal jeweils in die linke Seite ein und schaue, ob du durch Umformungen auf die rechte Seite kommst.

Answer 1

Dein Ansatz mit u=(u1 u2 u3) etc.   ermöglicht dir doch

das Nachrechnen der Gleichungen

z.B.  (u + v) · w

= ( u1+v1, u2+v2,u3+v3)*(w1,w2,w3)

=(u1+v1)*w1 + (u2+v2)*w2 + (u3+v3)*w3

Jetzt Distributivgesetz in ℝ anwenden gibt

=u1w1 +v1*w1 + u2w2+v2w2 + u3w3+v3w3

umordnen (kommutativ, assoziativ)

=u1w1+ u2w2+ u3w3+  v1*w1 +v2w2 +v3w3

und wieder die Def. des Skalarprod. anwenden gibt

=  u · w + v · w         etc.