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kann mir jemand erklären was hier für eine Umformung gemacht wird? Erst wird das Integral halbiert, dadurch wird alles im Nenner halbiert, richtig? Anschließend wird aber irgendwas mit sqrt(2) gemacht, da komme ich dann nicht mehr mit, ab dem zweiten Gleichzeichen, kann mir jemand helfen ?


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Erst wird das Integral halbiert, dadurch wird alles im Nenner halbiert, richtig?

Stimmt nicht ganz:  Wenn man bei einem Bruch den Nenner halbiert,

verdoppelt sich sein Wert. Um das wieder auszugleichen wird der

Faktor 1/2 vor das Integral gestellt; deshalb ist auch beides gleich.

Jetzt hat man ja im Nenner   X^2 / 2  + 1 , man braucht aber

etwas von der Form  z^2 + 1 um die Sache auf den

arctan zurückführen zu können, deshalb wird aus x^2 /2

dann   (x /√2 ) ^2 gemacht.  Gleichzeitig soll im Zähler auch

1/√2  entstehen (Damit das nachher mit der Substitutionsregel passt.)

Deshalb wird aus dem Faktor  1/2 vor dem Integral das Produkt

(1/√2)  * ( 1/√2 ) gemacht. Der eine Faktor bleibt vor dem Integral stehen

und der andere kommt nach innen auf den Zähler des Bruches.

Jetzt ist die Sache soweit gediehen, dass man die Substitution

(steht über dem =-Zeichen) machen kann.  Dabei wird bei der oberen

Grenze aus √12  eben √6.

Wenn du das üben willst, versuche doch mal das Integral über

1 / (x^2 + 3 ) von 0 bis √12 zu berechnen und kontrolliere mit einem

Integralrechner aus dem Internet.

Avatar von 287 k 🚀

Bis zu dem Punkt, wo das erste mal 1/ sqrt(2) auftaucht ist es mir klar, aber danach verstehe ich nicht wie das mit dem x^2/ 2 verrechnet wird.. Wie kommt man von sqrt(2) * x^2/2 auf (x/sqrt(2))^2 ?


Da das ganze unter dem Bruch steht rechnet man eigentlich ja nur Sqrt(2) * x^2/2

x^2 / 2 = x^2 / ( √2 * √2) = x^2 / (√2)^2 = (x / √2)^2

Gleichzeitig:

1/2 = 1/√2 * (1/√2) Einer der Faktoren bleibt vor dem Integral, der andere ist über dem Bruchstrich.

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Anschließend wird  aber irgendwas mit sqrt(2) gemacht ...

Der Zähler wird durch √2 dividiert, deshalb wird vor dem Integral mit √2 multipliziert und dann durch √2 gekürzt.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Aber wie wird das 1/sqrt(2) Da rein multipliziert, damit am Ende (x/sqrt(2))^2 unten steht? und wieso bleibt die 1 einfach so stehen?

Ein anderes Problem?

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