Sei (cn)n Element N eine Folge mit cn>0. Zeigen Sie lim cn = unendlich genau dann wenn lim 1/cn = 0

Question

Hallo Mathe-lounger!

Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:

Sei (c_n)_n∈ℕ eine Folge mit c_n > 0 für alle n∈ ℕ. Zeigen Sie:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) c_n = ∞ ⇔ \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{1}{cn} \) = 0

[Bemerkung: bei dem Bruch soll das ebenfalls ein c_n sein)

Ich hatte die Idee, dass ich mit der Definition der Konvergenz arbeiten könnte (also mit ε), habe aber jeden dieser Ansätze verworfen, da ich nicht wusste, wie ich da weiter vorangehen soll. Ich wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar.

Comments

Das mit dem Epsilon könnte schon klappen.

Weil (cn) --> unendlich, findest du ein n_0 ab dem alle Folgenglieder c_n grösser als ein vorgegebenes 1/epsilon sind.

Answer 1

Ich lass mal bei dem Limes das n gegen unendlich weg, dann hast du

lim c_n =∞   heißt:  Für jedes K∈ℝ gibt es ein N∈ℕ so dass
                                für alle n>N gilt  c_n > K        #

Wenn das nun erfüllt ist und du willst beweisen lim 1/c_n = 0

dann kannst du so vorgehen:

Sei ε>0.   Dann ist auch 1/ε > 0 und nach # gibt es für dieses

1/ε  (Das sit jetzt das K ) ein N∈ℕ so dass

          für alle n>N gilt  cn >  1/ε     .

Da cn und ε   beide größer 0 sind , kann man mit ε

multiplizieren und durch cn dividieren und hat dann

                                 ε    > 1/c_n

Es gibt also ein N∈ℕ so dass

 für alle n>N gilt    ε    > 1/cn  oder eben

                            1/cn   <     ε

und da cn > 0 ist das gleichbedeutend mit

                           | 1/cn   - 0  |  <     ε .

Also lim 1/c_n = 0 .

Umgekehrt geht es entsprechend.