Zeigen Sie, dass auch lim cn = a gilt

Question

Seien \( \left(a_{n}\right)_{n},\left(b_{n}\right)_{n} \) und \( \left(c_{n}\right)_{n} \) reelle Folgen und \( a \in \mathbb{R} \) mit\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} \)
\( a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \forall n \in \mathbb{N} \)
Zeigen Sie, dass auch \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n}=a \) gilt.

Erscheint mir sehr logisch, aber wie beweise ich das?

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\).

Gesucht ist ein \(N\in \mathbb{N}\) mit \(\left|c_n-a\right| < \varepsilon\) für alle \(n > N\).

Du weißt es gibt ein \(N_a\in \mathbb{N}\) mit \(\left|a_n-a\right| < \varepsilon\) für alle \(n > N_a\) und ein \(N_b\in \mathbb{N}\) mit \(\left|b_n-a\right| < \varepsilon\) für alle \(n > N_b\).

Wähle \(N = \max \left\{N_a,N_b\right\}\) und zeige \(\left|c_n-a\right| < \varepsilon\) mittels der Fallunterscheidung

• \(c_n \leq a\)
  
• \(c_n > a\).