Beweis durch vollständige Induktion- allgemeines Distributivgesetz?

Question

Aufgabe:

Seien \( A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots \) Teilmengen einer Grundmenge \( M \). Beweisen Sie die folgende Gleichung mit Hilfe der vollständigen Induktion:

\( A \cup\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\bigcap_{i=1}^{n}\left(A \cup A_{i}\right), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \)

( Allgemeines Distributivgesetz)

(Hinweis: Benutzen Sie dabei die Mengenrechengesetze)

Answer 1

Für n = 2 gilt die Gleichung, denn:$$A\cup (\bigcap _{ i=1 }^{ 2 }{ { A }_{ i }) }=A\cup ({ A }_{ 1 }\cap { A }_{ 2 })=(A\cup { A }_{ 1 })\cap (A\cup { A }_{ 2 })=\bigcap _{ i=1 }^{ 2 }{ (A\cup { A }_{ i }) }$$I.V.: Gelte für festes m ≥ n$$A\cup (\bigcap _{ i=1 }^{ m }{ { A }_{ i }) }=\bigcap _{ i=1 }^{ m }{ (A\cup { A }_{ i }) }$$I.B.: Dann gilt für m+1:$$A\cup (\bigcap _{ i=1 }^{ m+1 }{ { A }_{ i }) }=\bigcap _{ i=1 }^{ m+1 }{ (A\cup { A }_{ i }) }$$Beweis:$$A\cup (\bigcap _{ i=1 }^{ m+1 }{ { A }_{ i }) } =A\cup ((\bigcap _{ i=1 }^{ m }{ { A }_{ i })\cap A_{ m+1 }) } =(A\cup \bigcap _{ i=1 }^{ m }{ { A }_{ i }) } \cap (A\cup { A }_{ m+1 })$$wegen I.V.:$$=\bigcap _{ i=1 }^{ m }{ { (A\cup A }_{ i })\cap (A\cup A_{ m+1 }) } =\bigcap _{ i=1 }^{ m+1 }{ { (A\cup A }_{ i }) }$$Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion:$$A\cup (\bigcap _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }) }=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{ (A\cup { A }_{ i }) }$$für alle n ∈ N, n ≥ 2

q.e.d.

EDIT: Letzte Zeile korrigiert. Ich wollte eigentlich nur die ursprüngliche Behauptung wiederholen und hatte aber stattdessen den Beweis für n = 2 in die letzte Zeile kopiert. Nun ist's wie es sein sollte.