Ist die Isometrie f eine Drehung? Bestimme das Zentrum von f

Question

Ich habe die Isometrie f gegeben durch

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ↦ $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$

Jetzt soll ich herausfinden ob es sich um eine Drehung handelt und wenn ja, das Zentrum von f bestimmen.

Es handelt sich um eine Drehung, wenn die Determinante 1 ist.

Da det= $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$- $\frac{4}{5}$(- $\frac{4}{5}$)= 1 ist, müsste es sich ja um eine Drehung handeln... aber da ist ja nur $\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$ am Ende. Das ist dann die Translation, die die Drehung noch verschiebt. Aber ist f insgesamt dann eine Drehung???

Und wenn ja, wie berechne ich dann das Zentrum? Dieses müsste ja der einzige Fixpunkt von f sein, also $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$. Dieses LGS müsste ich dann lösen.

Vielen Dank für euern Rat!

Answer 1

Das wäre das Gleichungssystem

 0,4x +0,5y = 1
-0,8x +0,4y = 1

2. 1.Gleichung + 2. Gleichung gibt

          1,4y = 2  ==>   y = 10/7   und  damit x = 5/7

Wenn es eine Drehung ist, dann ist (  5/7  ;  10/7 ) der

Drehpunkt.

Comments

Aber kann ich denn einfach sagen, dass f eine Drehung ist? Oder muss ich den Vektor am Ende noch irgendwie einbeziehen bei der Determinantenberechnung?