Question

Beweisen oder widerlegen Sie für eine Menge M und A,B,C ⊆ M:  

A \ (B \ C)  = (A \ B) ∪ C

 

blick in der mengenlehre nich so durch, freue mich über eine antwort

Answer 1

Behauptung:

Die Behauptung

A \ ( B \ C)  = ( A \ B ) ∪ C

ist im allgemeinen falsch. Sie gilt nur, wenn C ⊆ A.

Beweis:

Es gilt allgemein: X \ Y = X ∩ ¬ Y

Daher:

A \ ( B \ C)  = A ∩ ¬ ( B \ C ) = A ∩ ¬ ( B ∩ ¬ C ) = A ∩ ( ¬ B ∪ C )

= ( A ∩ ¬ B ) ∪ ( A ∩ C )

aber:

( A \ B ) ∪ C

= ( A ∩ ¬ B ) ∪ C

Daraus folgt:

( A \ ( B \ C) = ( A \ B ) ∪ C )

<=> ( A ∩ ¬ B ) ∪ ( A ∩ C ) = ( A ∩ ¬ B ) ∪ C

<=> ( A ∩ C ) = C

<=> C ⊆ A

Die beiden Ausdrücke sind also im allgemeinen verschieden. Gleich sind sie dann und nur dann, wenn C eine Teilmenge von A ist. 

Answer 2

Zeichne dir mal die entsprechenden Venn-Diagramme. Dann ist ersichtlich das

A \ (B \ C) ≠ (A \ B) ∪ C

Comments

so hatte ich das bereits gemacht. nur ist so ein zeichnerischer beleg nicht ausreichend für unseren prof.


das muss man irgendwie durch rechenregeln (de morgan, distiributivität etc..) beweisen.