Question

Es sei M eine Menge und es seien A ⊆ M und B ⊆ M. Beweisen Sie: 

M \ (A ∪ B) = (M \ A) ∩ ( M \ B)

Also ich habe eine Teilmengenbeziehung aufgestellt:

1. M \ (A ∪ B) ⊆ (M \ A) ∩ ( M \ B)

2. M \ (A ∪ B) ⊇ (M \ A) ∩ ( M \ B)

Beweis von 1.

x ∈ M \ (A ∪ B)

⇒ x ∈ M und ¬ (x ∈ A oder x ∈ B) 

⇒ x ∈ M und (x ∉ A und x ∉ B) 

⇒ (x ∈ M und x ∉ A) und (x ∈ M und x ∉ B)

⇒ x ∈ (M \ A) ∩ (x ∈ M \ B)

Beweis von 2.

 x ∈ (M \ A) ∩ (x ∈ M \ B)

⇒ x ∈ M und (¬(x ∈ A) und  ¬(x ∈ B))

⇒ x ∈ M und ¬(x ∈ A oder x ∈ B) 

⇒ x ∈ M und x ∉ (A∪B) 

⇒ x ∈ M \ (A∪B)

Ist der Lösungsweg richtig?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Es sei M eine Menge und es seien A ⊆ M und B ⊆ M. Beweisen

Stichworte: mengen,mengenlehre,beweis,differenz,vereinigung,durchschnitt,element

Es sei M eine Menge und es seien A ⊆ M und B ⊆ M. Beweisen Sie:

M \ (A ∪ B) = (M \ A) ∩ ( M \ B)

Mein Beweis:

• Sei x ∈ M \ (A ∪ B). Dann gilt x ∈ M und x ∈ (A ∪ B). Da x in der Vereinigung von A und B liegt, ist (Fall 1) x ∈ A oder (Fall 2)  x ∈ B.  Im Fall 1 ist x ∈ M \ A, im Fall 2 ist x ∈ M \ B. Nach Definition des Durchschnitts liegt x in (M \ A) ∩ ( M \ B), ist also Element der rechten Seite.

Habe ich die Aufgabe richtig verstanden? Und stimmt mein Lösungsweg?

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Die vorliegende Argumentation macht dahingehend keinen Sinn, dass \( x \in M \setminus ( A \cup B )\) grade bedeutet, dass \(x\) nicht in \(A \cup B \) liegt. Der Rest ist ebenfalls nicht korrekt geschlossen.

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Kann ich das auch so beweisen?

1.  x ∈ M \ (A ∪ B)

⇒ x ∈ M und ¬ (x ∈ A oder x ∈ B)

⇒ x ∈ M und (x ∉ A und x ∉ B)

⇒ (x ∈ M und x ∉ A) und (x ∈ M und x ∉ B)

⇒ x ∈ (M \ A) ∩ (x ∈ M \ B)

2. x ∈ (M \ A) ∩ (x ∈ M \ B)

⇒ x ∈ M und (¬(x ∈ A) und  ¬(x ∈ B))

⇒ x ∈ M und ¬(x ∈ A oder x ∈ B)

⇒ x ∈ M und x ∉ (A∪B)

Answer 1

Beweis von 2.

Am Anfang wohl eher so:

 x ∈ (M \ A) ∩ ( M \ B)

⇒ x ∈ M\A   und  x ∈ M\B

⇒ x ∈ M und (¬(x ∈ A) und  ¬(x ∈ B))

⇒ x ∈ M und ¬(x ∈ A oder x ∈ B) 

⇒ x ∈ M und x ∉ (A∪B) 

⇒ x ∈ M \ (A∪B)
Ansonsten eine saubere Lösung.

Comments

Oh ja, ich habe mich vertippt. Danke :)

Answer 2

schau dir noch einmal genau die Definition von M \ A an, denn dies bedeutet die Menge M ohne A.

Zur deiner Frage: Nein dein Lösungsweg stimmt nicht.
Hier der korrekte Beginn: x ∈ M \ (A ∪ B). Dann folgt daraus, dass x ∈ M ist, und x ∉ von A ∪ B ist.

Der Rest sollte machbar sein.

Grüße

Comments

So ich habe es nochmal probiert:

Sei x ∈ M \ (A ∪ B). Dann gilt x ∈ M und x ∉ A ∪ B. Dann folgt daraus, dass x ∉ A oder x ∉ B. Somit ist x ∈ M \ A und x ∈ M \ B. Daraus ergibt sich dann, dass x in (M \ A) ∩ ( M \ B) liegt.

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Korrekt :-)

Gruß

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Nein, das ist nicht ganz korrekt. Aus x ∉ A ∪ B. folgt nicht, dass  x ∉ A oder x ∉ B.  sondern dass  x ∉ A und x ∉ B. Und das sollte man, da es anscheinend nicht ganz klar ist, noch zeigen.

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Ups habe das oder ganz überlesen.

Gutes Auge Yayku :-)

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Wie soll man zeigen, dass  x ∉ A und x ∉ B? 

Weil A und B beides Teilmengen von M sind oder gehört da noch was dazu?