ich habe folgende Aufgabe (hoffentlich richtig) gelöst, bin mir aber unsicher ob ich mir das so einfach machen darf.
Könnte jemand bitte drüber schauen?
Aufgabe:
Beweisen Sie, dass die Funktion exp : R → R streng monoton wachsend ist.
Hinweis. Lesen Sie Definition 6.20 und benutzen Sie Satz 5.26.
6.20. Definition. Sei D ⊆ R und sei f : D → R eine Funktion. Wenn fur alle x1, x2 ∈ D
mit x1 < x2 gilt, dass f(x1) <= f(x2), dann heißt f monoton wachsend. Wenn sogar immer
f(x1) < f(x2) gilt, dann heißt f streng monoton wachsend. Entsprechend erklärt man
(streng) monoton fallend.
5.26. Satz (Additionstheorem fur die Exponentialfunktion). Für alle x, y ∈ R gilt
exp(x + y) = exp(x) · exp(y).
Mein Ansatz:
Sei f(x) = e^x, mit x∈ℝ.
Sei xn = n + 1 mit n∈ℕ und y = 1.
Nach 6.20 sei D ⊆ ℝ, und x1, x2 ∈ D mit x1<x2.
x1=2 und x2=3 --> x1<x2. check!
Nach Satz 5.26 gilt exp(x+y) = exp(x)*exp(y).
--> f(x1)=(e^2)*(e^1)=(e^3)
f(x2)=(e^3)*(e^1)=(e^4)
f(x1) < f(x2) check!
Nun sind nach Def. 6.20 beide Bedingungen erfüllt für f streng mototon wachsend:
x1<x2 gilt f(x1)<f(x2)
2<3 gilt (e^3)<(e^4) q.e.d.
Kann man das so machen oder gibt es da Probleme da dies nicht allgemein genug ist? (Denke da an meiner Definition von y=1 zum Beispiel).
