Beweisen Sie: Die Funktion f : R+0 → R+0 , f(x) = x^(4), ist streng monoton wachsend

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Die Funktion f : R+0 → R+0 , f(x) = x^(4), ist streng monoton wachsend.

ich muss ein Beweis für die obige Funktioon aufschreiben und ich weiß überhaupt nicht wie ich hier vorgehen soll.

Answer 1

Es sei \(x>y\geq0\). Dann gilt
\(x^4-y^4=(x^2-y^2)\cdot(x^2+y^2)=(\underbrace{x-y}_{>0})\cdot(\underbrace{x+y}_{>0})\cdot(\underbrace{x^2+y^2}_{>0})>0\).

Answer 2

Du musst zeigen, dass

(x + h)^4 > x^4 für x ∈ R0+ und h ∈ R+ gilt.

(x + h)^4 > x^4

x^4 + 4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4 > x^4

4·h·x^3 + 6·h^2·x^2 + 4·h^3·x + h^4 > 0

Das Produkt zweier nicht negativer Zahlen kann nicht negativ sein. Das Produkt positiver Zahlen ist wieder positiv.

Da in der Summe kein Term negativ sein kann und der letzte Summand positiv sein muss ist die Gleichung erfüllt.

Comments

Das Produkt zweier nicht negativer zahlen kann nicht Null werden.

0·0≠0?

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Danke. Gut aufgepasst. Es müsste lauten

Das Produkt zweier nicht negativer Zahlen kann nicht negativ sein.

Ich habe das oben verbessert.