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Aufgabe:

Seien n1 und n2 teilerfremde nat. Zahlen und z1 und z2 in Z. Zeigen Sie, dass es ein x gibt, sodass 
$$ x \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 1 } } & { \bmod n _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } & { \bmod n _ { 2 } } \end{array} \right. $$


Problem/Ansatz:

Ich hätte als Ansatz: Es sind z1' und z2' zu finden, sodass z1+z1' * n1=z2+z2' * n2. Dann ist x = z1+z1' * n1 = z2+z2' * n2 eine gemeinsame Lösung der Kongruenzen. 

Ich glaube hiermit bin ich aber noch nicht fertig, oder?

von

1 Antwort

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Die Verwendung von z1'  bzw. z2' als Bezeichener ist möglich, aber irgendwie unübersichtlich. Ich nehme mal lieber a und b.

Es gibt also laut Voraussetzung zwei ganze Zahlen a und b mit

x=a*n1+z1 und

x=b*n2+z2.

Differenzenbildung liefert

a*n1-b*n2+z1-z2=0 bzw.

z1-z2=b*n2-a*n1

Es gibt nun einen Satz der besagt, das für teilerfremde ganze Zahlen n1 und n2 die Gleichung

r*n1+s*n2=1  stets ein Lösungspaar (r,s) besitzt.

Wenn man nun in dieser Gleichung statt der 1 eine 2, eine  3, eine 4 usw. hätte, wäre  (2r,2s), (3r, 3s), (4r,4s) ... ein entsprechendes Lösungspaar.

Wenn man mit  r*n1+s*n2 das Ergebnis 1 erzeugen kann, dann kann man mit einem entsprechenden Vielfachen auch das Ergebnis (z1-z2) erzeugen.

von

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