Berechnung der Drehmatrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Gerade g : y = (1,1,1) + λ (6,3,2)
Bestimmen Sie die Drehmatrix der Drehung um diese Gerade mit dem Drehwinkel ϕ = π/2.

Problem/Ansatz:

Mein Problem besteht darin, dass ich nicht weiß, wie ich an dieses Problem herangehe?

Bis jetzt habe ich nur herausgefunden, dass (1,1,1) = Ortsvektor und (6,3,2) = Richtungsvektor ist. Aber wie geht es jetzt weiter? Kann mir jemand die Schritte erklären + Formeln dazu?

Answer 1

Die Drehung um g kann nicht durch eine Matrix beschrieben werden.

Die Matrixmultiplikation bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab.

Die Drehung um g bildet den Nullvektor nicht auf den Nullvektor ab.

Alternative ist, den zu drehenden Punkt zuerst um (-1, -1, -1) zu verschieben, dann zu drehen und dann wieder um (1, 1, 1) zu verschieben. Die an dieser Abbildung beteiligte Drehung kann dann durch die Matrix

\(\begin{pmatrix} n_1^2 \left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha & n_1 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) - n_3 \sin\alpha & n_1 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) + n_2 \sin\alpha \\ n_2 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) + n_3 \sin\alpha & n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha & n_2 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) - n_1 \sin\alpha \\ n_3 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) - n_2 \sin\alpha & n_3 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) + n_1 \sin\alpha & n_3^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha \end{pmatrix} \) beschrieben werden, wobei \(\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix}\) ein normierter Richtungsvektor der Geraden ist und \(\alpha\) der Winkel um den gedreht wird. Siehe auch wikipedia://Drehmatrix.

Comments

Vielen Dank Oswald für die rasche Hilfe!

Wie finde ich den zu drehenden Punkt? Und verschoben wird er in dem, dass der zu drehende Punkt mit dem Vektor (-1,-1,-1) multipiziert wird?

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Wie finde ich den zu drehenden Punkt?

Eine Drehung ist eine Abbildung. Das heißt, sie kann jeden Punkt drehen.

Und verschoben wird er in dem, dass der zu drehende Punkt mit dem Vektor (-1,-1,-1) multipiziert wird?

Verschoben wird, indem der Vektor addiert wird. Mit der Rotationsmatrix \(M\) lautet die Abbildung dann

        \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \mapsto M\cdot\left( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right)+ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

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Ich habe das mal durch Maxima gejagt:

\(M = \begin{pmatrix} {{36}\over{49}}&{{4}\over{49}}&{{33}\over{49}} \cr[1ex] {{32}\over{49}}&{{9}\over{49}}&-{{36}\over{49}} \cr[1ex] -{{9}\over{49}}&{{48}\over{49}}&{{4}\over{49}}\cr \end{pmatrix} \)

und somit lautet die vollständige Abbildung

\( \begin{pmatrix} x_1\\[1ex] x_2 \\[1ex] x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} {{36}\over{49}}&{{4}\over{49}}&{{33}\over{49}}\cr[1ex] {{32}\over{49}}&{{9}\over{49}}&-{{36}\over{49}}\cr[1ex] -{{9}\over{49}}&{{48}\over{49}}&{{4}\over{49}}\cr \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} \right)+ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)