Warum fallen hier die hoch 3 weg? (Vollständige Induktion)

Question

Aufgabe:

Man beweise $\sum\limits_{n=1}^{n}{k^3}$ = ($\frac{n(n+1)}{2}$ )²

Hallo folgende Frage zur Induktion. Bei der genannten Aufgabe verstehe ich eine Sache bei der Lösung nicht. Nachdem man die (n+1) auf der linken Seite eingesetzt hat folgt:

$\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$  Daraus folgt dann laut lösung:

$\frac{(n^2+4(n+1))*(n+1)^2}{4}$  Nun verstehe ich nicht warum die hoch 3 wegfällt, weil eigentlich formt er doch nur um. Oder übersehe ich einen Schritt?

Answer 1

Hallo LeonOX,

da fällt nichts weg, es wird lediglich der Term $(n+1)^2$ aus geklammert. Es ist: $$n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3 =n^2 \cdot (n+1)^2 + 4(n+1) \cdot (n+1)^2 = (n^2 + 4(n+1))(n+1)^2$$ Gruß Werner

Answer 2

Es wurde (n+1)² ausgeklammert.