Wie bestimme ich die Matrix A die zu einer linearen Abbildung gehört?

Question

Aufgabe:

Matrix A ∈ ℝ^3*3 bestimmen die zur linearen Abbildung f: ℝ³→ℝ3

f($\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ )=$\begin{pmatrix} 3\\7\\1\end{pmatrix}$

f($\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$ )=$\begin{pmatrix} 3\\4\\2\end{pmatrix}$

f($\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}$ )=$\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

$\begin{pmatrix} a & b &c \\ d & e& f \\ g &h&i \end{pmatrix}$  * $\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 1 & 0& 2 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3&3&-1 \\ 7&4&2 \\ 1&3&1 \end{pmatrix}$

a*1+b*1+c*0=3

a*1+b*0+c*1=3

a*0+b*2+c*1=-1

......

Wie löse ich die Gleichungen auf?

Answer 1

Etwas einfacher ist es, wenn du versuchst die

Bilder der 3 kanonischen Basisvektoren zu bestimmen.

Etwa so

$$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix}$$also ist

$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$

Dann also auch:

$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$

bzw.

$$f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}$$

Entsprechend für die anderen (ist was einfacher)

$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})$$

$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10/3\\16/3\\1 \end{pmatrix}$$

Jetzt brauchst du nur noch $$f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\-4/3\\1 \end{pmatrix}$$

und du hast die drei Spalten der Abbildungsmatrix

$$\begin{pmatrix} 10/3 & -1/3 &-1/3 \\ 16/3 & 5/3 & -4/3 \\ 1 & 0&1\end{pmatrix}$$

Comments

oder auch : Inverse A von

 $\begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 1 & 0& 2 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix}$

bestimmen, und dann

$\begin{pmatrix} 3&3&-1 \\ 7&4&2 \\ 1&3&1 \end{pmatrix}$

mal diese Inverse ausrechnen.

Answer 2

Ajee, Du bekommst 9 Gleichungen.

Zur Lösung eines linearen GLS kannst Du eines der 3 Verfahren einsetzen, die ihr sicher schon besprochen habt. Welches schwebt Dir vor? Wenn Du mit GLS arbeiten willst, solltest Du die einzelnen Abbildungsvorschriften in je ein 3x3 GLS schreiben.

Wenn Du mit Matrizen arbeiten willst, kannst Du Deinen Ansatz verwenden und mit der Inversen der Urbildvektoren arbeiten. Habt ihr die Inverse besprochen, sollte man anehmen, wenn es um lineare Abbildungen geht.