Question

. Sei V ein Vektorraum und V = U1⊕U2. Jedes x ∈ V hat eine eindeutige Darstellung der Form
x = x1 + x2 mit x1 ∈ U1, x2 ∈ U2. Zeigen Sie: Die Abbildung p(x) = x1 ist linear, ker(p) = U2
und p(V ) = U1.
Bemerkung: p heißt die Projektion auf U1 in Richtung U

Könnte mir einer beim lösen dieser Aufgabe behilflich sein?

Answer 1

Für Linearität musst du (allgemein) zeigen \( \forall x, y \in V: p(x+y)=p(x)+p(y)\) und \( \forall x \in V \space \forall a \in K: p(ax)=ap(x) \)

Die erste Gleichung zeigst du so:

Du weißt, dass es für alle Elemente aus V eine eindeutige Darstellung aus U1 und U2 gibt. Formal: \( \forall x \in V \space \exists x_1 \in U_1 \space \exists x_2 \in U_2: x=x_1+x_2\)

Das verwenden wir nun um die Linearität zu beweisen, also die Gleichungen oben umzuformen:

\( \forall x, y  \in V \space \exists x_1,y_1 \in U_1 \space \exists x_2,y_2 \in U_2 \space: p(x+y)=p((x_1+x_2)+(y_1+y_2))=p(x_1+y_1+x_2+y_2)\)

\( U_1 \) und \( U_2 \) sind Vektorräume.  Die Summe zweier Vektoren aus dem gleichen Vektorraum ergibt wieder einen Vektor aus eben diesem. Folglich: \( x_1+y_1 \in U_1  \) und \( x_2+y_2 \in U_2  \).

Nun nutzen wir die Definition von p.

\( p(x_1+y_1+x_2+y_2) = x_1 + y_1 = p(x) + p(y) \)

und haben damit bewiesen:

\( \forall x, y \in V: p(x+y)=p(x)+p(y)\)

Die zweite Gleichung beweist du sehr ähnlich!

Comments

Sehr gut. Ich werde zuhause mal versuchen, die zweite lineare Voraussetzung zu beweisen. Könntest du mir vielleicht noch erklären, was mit kern(p)=U2 und p(V) gemeint ist, bzw. Man darauf kommt? Das hatten wir in der Uni bisher noch nicht und wurde uns auch nicht erklärt.

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Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge der Elemente, welche auf das neutrale Element, also auf null abgebildet werden.

Es gilt z.B. \( p(0) = 0 \) also \( 0 \in Kern(p) \).

Formal: \(  \forall x \in V: p(x)=0 \iff x \in Kern(p) \)

Kern(p) ist also eine Menge (sogar ein Untervektorraum!). Und du willst die Gleichheit der Menge Kern(p) zur Menge \( U_2\) zeigen. Die Gleichheit von Menge zeigst du immer/meistens durch zwei Beweise. Einmal \( Kern(p) \subseteq U_2\) und \( U_2 \subseteq Kern(p)\), daraus folgt nämlich \( Kern(p)=U_2\)

Für zwei Mengen A und B bedeutet \( A \subseteq B\), jedes Element aus A ist auch Element aus B. Formal: \( a \in A \implies a \in B\)

Beweis 1 \( Kern(p) \subseteq U_2\)

Wir nehmen nun also ein beliebiges \( a \in Kern(p)\). Wir wollen zeigen \( a \in U_2\). Weil a im Kern ist gilt \( p(a) = 0\). a ist aber nicht nur Element des Kerns sondern natürlich auch Element von V, was bedeutet dass es eine eindeutige U1 + U2 Darstellung gibt. Insgesamt gilt: \( \exists a_1 \in U_1 \space \exists a_2 \in U_2: 0=p(a)=p(a_1 + a_2)=a_1 \implies a_1 = 0 \implies a=a_2 \in U_2\).

Beweis 2 \( U_2 \subseteq Kern(p)\)

Sei nun \( x \in U_2\). Dann wieder \( \exists x_1 \in U_1 \space \exists x_2 \in U_2: x = x_1 + x_2\). Da x in \( U_2\) liegt ist \( x_1=0\) und \( x=x_2\). Wir setzen ein in p: \( p(x) = p(x_1 + x_2)= x_1 = 0\). Es gilt somit \( x \in Kern(p)\)

Damit ist die \( Kern(p) = U_2\) bewiesen.

p(V) ist die Bildmenge (einfach mal googlen). Das ist die Menge, welche man erhält, wenn man jedes x aus V in p einsetzt und die Ergebnisvektoren "sammelt". Du willst wieder eine Mengengleichheit zeigen, also funktioniert der Beweis in zwei Schritten wie oben.