Vereinigung reeller Intervalle

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( A \cup B \) der folgenden (reellen) Intervalle (Obermenge: \( \mathbb{R}): \)

\( A=[0,4) \quad B=(1,7) \)

Dabei bin ich mir nicht sicher ob ich sie falsch verstanden habe oder lediglich falsch eingegeben?

Bei L soll hier die Lösung eingetragen werden, aber meine Lösung \( L=[0.1,2,3,4,5,6] \) ist falsch.

Answer 1

Wenn die Obermenge der angegebenen Intervalle die ganzen Zahlen wären, dann wäre deine Lösung richtig. Die Obermenge sollen aber die reellen Zahlen sein. Die jedoch kann man nicht alle aufzählen, denn davon gibt es in jeder noch so kleinen Teilmenge unendlich viele. Statt dessen nutzt man die Intervallschreibweise, in der man nur die Grenzen der Lösungsmenge angibt und durch die Form der Klammer ausdrückt, ob die jeweilige Grenze mit zur Menge gehören soll (eckige Klammer) oder nicht (runde Klammer). Alle Zahlen zwischen den Grenzen gehören zur Menge.

In deiner Beispielaufgabe sollen die Mengen A und B miteinander vereinigt werden. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen enthält jedes Element, das wenigstens in einer der Mengen enthalten ist.

In der Menge A ist die 4 nicht enthalten (runde Klammer). Da die 4 aber in der Menge B enthalten ist, gehört sie auch zur Vereinigungsmenge von A und B. Umgekehrt gilt dasselbe für die 1. Sie gehört nicht zu B, wohl aber zu A, also auch zur Vereinigungsmenge. Die 7 schließlich gehört weder zu A noch zu B, also gehört sie auch nicht zur Vereinigungsmenge von A und B.

Die Lösung lautet daher:

L = A ∪ B = [ 0 , 7 )

Comments

Vielleicht noch ein kleiner Hinweis: Die Lösung wäre auch bei Obermenge Z falsch. Man müsste dann schreiben {0,1,2,3,4,5,6}, also mit geschweiften Klammern.

Wenn man eckige Klammern benutzt, ist das ein Intervall, da gibt man nur die obere und untere Grenze an. Also ist [0,1,2,3,4,5,6] gar nicht definiert. Es ist weder ein Intervall noch eine Menge.