Matrizen potenzieren/bestimmen: Berechnen Sie für alle n € N die Potenzen A^{n} und B^{n}.

Question

Gegeben seien

\( A = \begin{pmatrix} 0 +2 +2 -1\\0 +0 +3 +4 \\0 +0 +3 +4 \\0 +0 +0 +0  \end{pmatrix} \)  und B = \( \begin{pmatrix} 2 + 1+0\\0  +2 +0 \\ 0 + 0 +7 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie für alle n € N die Potenzen A^{n} und B^{n}.

Answer 1

Hallo immai,

Schau dir zuerst das Video und das Beispiel bei Wikipedia an, damit du weißt, wie man Matrzen multipliziert!

Betrachte z.B. die Matrix B:

ich schreibe zum Teil gleiche Buchstaben für gleiche Zahlen (x= 2 , y = 7), weil du dann wohl das Prinzip besser erkennen kannst:

⎡ x   1   0 ⎤
⎢ 0   x   0 ⎥   = B 
⎣ 0   0   y ⎦

Wie im Video mit sich selbst multipliziert  ergibt

⎡ x²  2x   0 ⎤
⎢ 0   x²    0 ⎥   =  B²
⎣ 0   0    y² ⎦

Ergebnis noch einmal mit B multiplizieren:

⎡ x³  3x  0 ⎤
⎢ 0    x³  0 ⎥   =  B³
⎣ 0   0   y³ ⎦

....     wie es weiter geht musst du dann erkennen

⎡ xⁿ   n·x   0 ⎤
⎢ 0     xⁿ    0 ⎥   =  Bⁿ  
⎣ 0     0    yⁿ ⎦

und dann noch die Buchstaben wieder für die Zahlen einsetzen.

Bei A ist das dann etwas mehr Arbeit :-)

Gruß Wolfgang

Comments

 Vielen Dank

Ist meine A^(n) richtig?

Kannst du mir bitte auch unbedingt mit schiefsymmetrie aufgabe helfen?

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Dein A² und dein A³  sind richtig.

Wenn du das Prinzip für Aⁿ  erkennen willst, solltest du vielleicht doch den Trick mit den Buchstaben versuchen :-)   ( die -1 stehenlassen)

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Ich hab ja unten A^(n) auch geschrieben im nachhinein

Ist der so also nicht korrekt?^^

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Das ist von der Wahrheit weit entfernt :-)

Gehe mal (für x=2 , u=3  und v=4)  von der Form

⎡ 0   x   x   -1 ⎤
⎢ 0   0   u    v ⎥   =  A  
⎢ 0   0   u    v ⎥
⎣ 0   0   0    0 ⎦

aus und berechne A²   (?)

dann verrate ich dir  A³  und dann erkennst du schon das Prinzip für Aⁿ

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ich war eingeschlafen^^

jetzt komme ich dazu zu probieren

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A= \( \begin{pmatrix} 0\ +0\ +2xu \ +2xv \\ 0\ +0\ +u²\ +uv \\ 0\ +0\ +u²\ +uv \\0\ +0\ +0 \ +0 \end{pmatrix} \)

wie solls weiter gehen?

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0       0    2u² x    2u vx

0       0     u³         u² v         =    A³

0       0     u³         u² v

0       0      0            0

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0      0    2u³ x    2u² vx

0      0     u⁴        u³ v        =     A⁴

0      0     u⁴        u³ v

0      0      0           0

mit n=4     ,

jetzt solltest du sehen, was bei Aⁿ  in den Exponenten stehen muss.

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n  und (n-1)

Aber wieso shreibst du bei A -> B?

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Und  oben rechts  u^n-2

War in Gedanken noch bei meinem Beispiel :-)

Habe das geändert.

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kein thema^^

und die b gleich bestimmt^^

vorgehensweise mein ich.

schieffsymmetrie brauche ich noch einwenig hilfe.

Vielen Dank

war sehr hilfreich^^

Answer 2

"Berechnen Sie für alle n € N die Potenzen A^(n) und B^(n)."

Und warum tust du es nicht?

Schreckt dich etwa das "für alle n"?

Rechne doch einfach A*A aus. Wenn du das hast: Multipliziere dein Ergebnis erneut mit A.

Falls du dann die Gesetzmäßigkeit immer noch nicht siehst, musst du vielleicht auch noch A⁴ berechnen.

Aber: FANG EINFACH AN.

Comments

Ich weiss leider nicht genau wie das machen soll beispiel

A= \( \begin{pmatrix} 2\\2\\2\end{pmatrix} \)

A× A =

\( \begin{pmatrix} 2\\2\\2\end{pmatrix} \)  × \( \begin{pmatrix} 2\\2\\2\end{pmatrix} \)  = (2×2 , 2×2 , 2×2) = (4, 4,4)??

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Wo steht in der Aufgabe A = \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ?

Was sollen denn die +-Zeichen bei deinem A in der Aufgabenstellung bedeuten?

Soll es nicht eher  A = \(\begin{pmatrix} 0&2&2&-1\\ 0&0&3&4\\ 0&0&3&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}\) heißen?

Dann wäre A²  = A *  A  (Matrizenmultiplikation)

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation

oder als Video:

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+- habe ich nur gemacht weil ich es anders nicht geschafft habe darzu stellen

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Istves soweit korrekt?

Meine annahme es wird gegen null gehen?

Nullvektor?8

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Ah nein der vektor wird immer mal n genommen?

Also geht es gegen unendlich?

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Also A=

\( \begin{pmatrix} 0\ +2 \ +2\ -1 \\0\ +0\ +3\ +4\\0\ +0\ +3\ +4 \\ 0\ +0 \ +0\ +0 \end{pmatrix} \)

A^(n) = \( \begin{pmatrix} 0\ +0 \ +2 *6n\ -1 *(-16)n\\0\ +0\ +3 * 3n\ +4*3n\\0\ +0\ +3 *3n\ +4*3n\\ 0\ +0 \ +0\ +0 \end{pmatrix} \)

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Mir ist aufgefallen auf dem heft habe ich 1 statt -1 geschrieben, doch zu meinem glück ist die letzte zeile immer 0 gewesen :)