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Aufgabe:

Wir haben die Abituraufgaben von 2016 bekommen:

Der Stammumfang einer Tanne kann annÀhernd beschrieben werden durch die Funktion f mit

f (t) =  4/(1+20e-0,05t)

Dabei gibt t die Zeit in Jahren seit Beginn des Beobachtungszeitraums an, f(t) den Stammumfang in Metern. Der Graph von f ist im Material abgebildet.

1.1 Ermitteln Sie den Stammumfang der Tanne zu Beginn des Beobachtungszeitraum und begrĂŒnden Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen mithilfe des Funktonsterms, dass gemĂ€ĂŸ dieser Modellierung der Stammumfang der Tanne nicht mehr als vier Meter betragen kann.

1.2 Zeigen Sie, dass fĂŒr die zweite Ableitung von f gilt:

f " (t) = 4e-0,05t(e-0,05t-0,05) / (1+20e-0,05t)2


1.3 Berechnen Sie den Zeitpunkt des stĂ€rksten Wachstums des Stammumfangs. Die ÜberprĂŒfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. Geben Sie eine Skalierung der Achsen des Koordinatensystems im Material an.

1.4 Bestimmen Sie den Wert des Integrals 1/10 âˆ« (unten 0, oben 10) f(t) dt und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.


2. Umgekehrt lĂ€sst sich aus dem Stammumfang der Tanne auf die seit Beginn des Beobachtungszeitraums vergangene Zeit schließen.


2.1 In einer hessischen Gemeinde ist fĂŒr das FĂ€llen eines Baumes die Genehmigung durch das Forstamt vorgeschrieben, wenn der Baumstamm einen Umfang von 60cm oder mehr besitzt. Berechnen Sie, ab welchem Zeitpunkt nach Beginn des Beobachtungszeitraums eine Genehmigung zum FĂ€llen der Tanne eingeholt werden muss.

2.2 Bestimmen Sie die Funktonsgleichung der Umkehrfunktion von f und begrĂŒnden Sie, warum die Funktion umkehrbar ist.

3. Die Funktion f beschreibt ein sogenanntes logistisches Wachstum, die obere Schranke S=4 wird als SÀttigungsmenge bezeichnet. Bei einem logistischen Wachstum ist die Wachstumgsgeschwindigkeit f '(t) proportional zum Produkt aus dem Bestand f(t) und der Differenz zur SÀttigunsmenge (S-f(t)) mit dem ProportionalitÀtsfaktor c> 0.

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechnung, dass der ProportionalitÀtsfaktor c den Wert c= 1/80 annimmmt.

Ansatz

1.1 f(0) setzen und dann habe ich als Beginn 4/21 heraus. Bei der BegrĂŒndung dachte ich mir dass die 4 oben die wachstumsschranke ist deswegen kann es nicht höher sein.

1.2 Um es zu zeigen kann ich die Ableitungen bilden.

Die ersten Ableitung kriege ich hin, da sollte f'(t) = 4e-0,05t/(1+20e-0,05t)2

Bei der zweiten habe ich aber ein Problem Sie aufzulösen.

Ich verwende die Quotientenregel ( u'(x) * v(x) - u * v'(x) ) / v2

-1/5e-0,05t * (1+20e-0,05t)2 - 4e-0,05t * 2(1+20e-0,05t)2 / (1+20e-0,05t)4

Ich habe echt Probleme das aufzulösen also wĂ€re echt um einen Lösungsweg dankbar. WĂ€re toll wenn ich erklĂ€rt bekommmen wĂŒrde wie man generell bei solchen aufgaben voran geht.

1.3 Bei der Aufgaben weis ich dass ein Wendepunkt bestimmt werden muss nur ich habe Probleme diese nach 0 aufzulösen. Denn ich kann den Nenner nicht auf die andere Seite bringen da 0 mal den Nenner auch wieder null ergibt. Es gab doch auch so eine regelung dass wenn ich den grenzwert durch 2 teile,  dass ich dann den y- Wert heraus habe (wĂ€re in dem falle doch 2 (4/2=2)) und diesen dann in die funktion einsetze um den x-Wert zu erhalten.

1.4 da habe ich echt garkeine Ahnnung weil ich noch nicht mal weis was die aufgabe mir sagen möchte XD.

muss ich bei der aufgabe nicht einfach die funktion integrieren und diesen integral dann da einsetzen? Keine Ahnung hoffe auf einen ausfĂŒhrlichen Lösungsweg damit ich mich dann damit nochmal selber beschĂ€ftigen kann. 


Die anderen Aufgaben habe ich noch nicht angeschaut, deswegen kann ich verstehen dass ich zu diesen noch keine Lösung bekomme. Ich hoffe nur auf Hilfe bei den Aufgaben 1.2-1.4. Aber wer die anderen Aufgaben mir noch gerne erklÀren möchte, nur zu! Xd

Hoffe ich habe mich verstĂ€ndlich ausgedrĂŒckt habe gegen Ende auch nicht so ganz auf die Groß- und Kleinschreibung geachtet und danke an diejenigen die das Ganze ernsthaft lesen und helfen !

LG

von

Ich habe jetzt mal bei der gegebenen Funktion die fehlenden Klammern um den Nenner ergÀnzt. Bitte beachte Punkt- vor Strichrechnung. 4/1+irgendwas = 4 + irgendwas.

1 Antwort

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Hallo

 du machst bei BrĂŒchen zu wenig Klammern, dadurch sieht es von Anfang an falsch aus. wenn du mit / den Bruch schreibst muss ZĂ€hler und Nenner in Klammern. bei der 2 ten Ableitung klammer im ZĂ€hler  (1+20e-0,05t)^2 aus und kĂŒrze mit dem Nenner dann wird der Ausdruck einfacher

zu 1.1 da e -fkt im Nenner immer positiv ist ist der Nenner immer >1 deshalb f<4 (umgekehrt kann man hieraus auf die Wachstumsgrenze schliessen, weil der Nenner fĂŒr t->oo gegen 1 geht.)

f' hat einen Vorzeichenfehler  richtig ist

f'=-4e-0,05t/(1+20e-0,05t)^2

 dadurch ist auch deine Ableitung falsch,

 u'=0,2*e-0,05t, v'=-2*e-0,05t*(1+20*e-0,05t)

am Ende solltest du e-0,05t und  (1+20*e-0,05t) ausklammern und kĂŒrzen

ich finde es immer einfacher mit der Produktregel zu arbeiten also

f'=-4e-0,05t(1+20e-0,05t)-2 sonst erstmal auf einen Schmierzettel u' und v' schreiben.

1.3 besser sagen Max von f' statt Wendepunkt, die Rechnung ist dieselbe, ein Bruch ist 0, wenn der ZĂ€hler 0 ist, (natĂŒrlich könntest du auch mit ihm multiplizieren, da du in 1.1 gesagt hast er ist immer >1

und dukannst selbst wenn du f'' nicht hast das gegebene f'' verwenden.

1.4 du integrierst vom Zeitpunkt 0 bis 10 Jahre ,  das ist der erste Auftrag, einen Sachzusammenhang sehe ich nur wenn man noch das Integral Mal1/10 nimmt also durch den Zeitraum dividiert, dann ist das das durchschnittliche Wachstum innerhalb der ersten 10 Jahre .

Gruß lul

von 25 k

dann ist das das durchschnittliche Wachstum innerhalb der ersten 10 Jahre

Nein.

Hallo Gast hj

 siehst du einen anderen Zusammenhang? und warum nein?

Danke lul

warum nein?

Weil f den Stammumfang angibt.

Hallo

Danke, ist mir ĂŒber Nacht auch klar geworden, also fĂŒr den Frager 1/10Jahre*Integral gibt den durchschnittlichen Umfang des Baumes in den ersten zehn Jahren. Gruß lul

Die Antwort zu 1.2 ist leider nicht korrekt,

fÂŽ hatte keinen Vorzeichenfehler. Im Abiturvorschlag wird fÂŽals f'=-4e-0,05t/(1+20e-0,05t)^2 angegeben und dies ist leicht zu beweisen durch die Quotientenregel.

GrĂŒĂŸe

Falco

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