Dimension, Vektorraum, endlichdimensional

Question

Aufgabe: Sei V ein C-Vektorraum. Dann kann man durch Einschränkung der Skalarmultiplikation V auch als Vektorraum über R auffassen. Wir nehmen an, dass V als C-Vektorraum endliche Dimension dimC(V ) besitzt. Zeigen Sie: V ist dann auch ein endlichdimensionaler R-Vektorraum der Dimension dimR(V ) = 2  dimC(V )

Problem/Ansatz: ?

Answer 1

Wenn V endlich dimensional als C-Vektorraum ist,

etwa mit dim(V)=n dann gibt es v₁,....,v_n

die eine Basis von V bilden. Dann ist jedes w∈V eindeutig

darstellbar in der Form

$$v=\sum \limits_{k=1}^{n}z_{k}v_{k}$$

 mit z1,....,zn aus ℂ. Und jedes z_k ist eindeutig als

z_k = a_k+b_k*i darstellbar mit a_k, b_k aus ℝ.  Also gilt

mit eindeutig bestimmten ak, bk aus ℝ.

$$v=\sum \limits_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}i)*v_{k}$$

$$=\sum \limits_{k=1}^{n}a_{k}*v_{k}+\sum \limits_{k=1}^{n}b_{k}(i*v_{k})$$.

Also bilden  v1,....,vn,,  i*v1,....,i*vn  eine ℝ-Basis von V

und diese hat 2n Elemente, also dim_R(V)=2*dim_C(V).