Beweis, dass der limes sup a_k ein Häufungspunkt der beschränkten Folge a_k ist

Question

Ich brauche Hilfe bei folgende Aufgabe:

$$\text{ Sei } (a_k)_ {k \in \mathbb{N}} \text{ eine beschränkte Folge in } \mathbb{R} \text{. Beweisen Sie, dass } \lim\limits_{k\to\infty}\text{sup }a_k \text{ ein Häufungswert der Folge } (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \text{ ist.}$$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht was ich hier beweisen soll. Also der Information, dass die Folge a_k beschränkt ist folgt, dass ein limes superior existiert.

Limes superior  ist abgesehen davon, dass er ein Häufungspunkt einer Folge ist, auch der größter Häufungspunkt.

Wie genau soll ich den zeigen, dass der limes superior ein Häufungspunkt der Folge a_k ist? Bisher habe ich folgendes aufgeschrieben:

$$\text{ Eine reelle Zahl X heißt Häufungspunkt einer reellen Folge } (a_k)_{k \in \mathbb{N}} \text{ wenn es eine  Teilfolge } (a_{k_n})_{k \in \mathbb{N}} \text{ von } (a_{k})_{k \in \mathbb{N}} \text{ existiert, die gegen X konvergiert.} \\ \text{ Folge } (a_{k})_{k \in \mathbb{N}} \text{ ist beschränkt }\Longrightarrow \exists! sup \\\Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} \text{sup }a_k \Longleftrightarrow \text{ Häufungspunkt von der Folge } (a_{k})_{k \in \mathbb{N}}$$

Kann mir jemand helfen in dieser Aufgabe diese Beziehung zu beweisen?

Answer 1

Für jedes k ist die Menge M_k={a_i| i≤k } = { a₁, a₂ , a₃, a₄ , …. , a_k }

endlich, besitzt also ein Maximum  m_k = max(M_k).

Die Folge   (m_k)_k∈ℕ   ist eine Teilfolge von   (a_k)_k∈ℕ   und konvergiert gegen

das Supremum aller von {a_i | i∈ℕ} = lim sup a_k für k gegen unendlich.