Standardskalarprodukt. Vektoren auch Orthonormalbasisüberprüfen

Question

Aufgabe:

Consider the vector space V = ℝ³ with the standard inner product <•,•>. Which collections of
vectors below are orthonormal bases with respect to <•,•>?

Beispiel: v1 = (1,0,0), v2=(1,2,1), v3=(0,0,1)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Vektoren in eine Matrix packe, sie mit der transponierten multipliziere, muss die Identitätsmatrix rauskommen. Oder ich checke jeden vektor einzeln. Schaue ob sie Norm 1 haben und ob das Produkt 0 gibt. Nur was meint man hier mit "with respect to <•,•>"? Nach welcher Mechanik ist gefragt?

Answer 1

beide Varianten sind möglich (und auch äquivalent).

Offensichtlich ist das keine ONB, da v_2 nicht normiert ist. Senkrecht sind v_1 und v 3 auch nicht zu v_2.

Mit "in Bezug auf das Standardskalarprodukt ..."

ist einfach nur gemeint, dass du das Standardskalarprodukt  verwenden sollst. Erst damit sind die Beträge und Winkel der Vektoren definiert.

||v||=sqrt(<v,v>)

<v_1,v_2>=||v_1||*||v_2||*COS (alpha)

Wenn du ein anderes Skalarprodukt nimmst, dann andern sich diese Werte gegebenfalls.