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Aufgabe:

Sei , \langle\cdot, \cdot\rangle das Standardskalarprodukt in V=Rn V=\mathbb{R}^{n} und AM(n,n;R) A \in M(n, n ; \mathbb{R}) . Sei {e1,,en} \left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\} die Standardbasis von V V .
a) Zeigen Sie für alle v,wV v, w \in V gilt: Av,w=v,Atw \langle A v, w\rangle=\left\langle v, A^{t} w\right\rangle .
b) Eine Matrix AM(n,n;R) A \in M(n, n ; \mathbb{R}) heißt orthogonal, wenn Av,Aw=v,w \langle A v, A w\rangle=\langle v, w\rangle für alle v,wV v, w \in V . Zeigen Sie die Äquivalenz folgender vier Aussagen:
(i) A A ist orthogonal.
(ii) At=A1 A^{t}=A^{-1}
(iii) Die Spalten von A A bilden eine Orthonormalbasis.
(iv) Die Zeilen von A A bilden eine Orthonormalbasis.
c) Sei A A diagonalisierbar mit Eigenwerten, die ausschießlich ±1 \pm 1 sind. Geben Sie ein Kriterium für die Eigenräume E1 E_{1} und E1 E_{-1} an, das äquivalent dazu ist, dass A A orthogonal ist und begründen Sie diese Äquivalenz. Die so erhaltenen Matrizen A A sind genau die Spiegelungen an Untervektorräumen.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar

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A) ist eine reine Rechenaufgabe. Du brauchst nur linke und rechte Seite ausrechnen und vergleichen....

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