Aufgabe:
Sei ⟨⋅,⋅⟩ das Standardskalarprodukt in V=Rn und A∈M(n,n;R). Sei {e1,…,en} die Standardbasis von V.
a) Zeigen Sie für alle v,w∈V gilt: ⟨Av,w⟩=⟨v,Atw⟩.
b) Eine Matrix A∈M(n,n;R) heißt orthogonal, wenn ⟨Av,Aw⟩=⟨v,w⟩ für alle v,w∈V. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender vier Aussagen:
(i) A ist orthogonal.
(ii) At=A−1
(iii) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis.
(iv) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis.
c) Sei A diagonalisierbar mit Eigenwerten, die ausschießlich ±1 sind. Geben Sie ein Kriterium für die Eigenräume E1 und E−1 an, das äquivalent dazu ist, dass A orthogonal ist und begründen Sie diese Äquivalenz. Die so erhaltenen Matrizen A sind genau die Spiegelungen an Untervektorräumen.
Problem/Ansatz:
Ich habe hier leider keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen muss. Ich wäre über eine Lösung mit Erklärung sehr dankbar