Wie lange ist die Brücke?

Question

Ich stehe auf eine einspurigen Eisenbahnbrücke. Aus dem Tunnel 2 km vor mir taucht plötzlich ein Zug auf und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 65 km/h auf mich zu. Ich kann auf der Brücke aber nur mit 15km/h laufen. Von dem Punkt auf der Brücke, an dem ich stehe, kann ich sowohl den
Anfang als auch das Ende der Brücke gerade noch erreichen (d.h gleichzeitig wie der Zug) egal in welche Richtung ich renne."

Answer 1

Einfach Bewegungsgleichung für Mensch und Zug aufstellen:

$$s_{Mensch,+} (t) = v_{Mensch,-} (t) \cdot t = 15 \ km/h \cdot t$$

$$ s_{Zug} (t) = v_{Zug} (t) \cdot t + s_0 = -65 \ km/h \cdot t + 2km$$

Der Ursprung unser Ortsgeraden ist beim Menschen. Daher wird zum Zug ein Wert von 2km zum Zeitpunkt t=0 hinzuaddiert. Zudem setzen wir die Geschwindigkeit für den Menschen positiv (daher das "+" im Index) und die des Zuges negativ, was bedeutet, dass sie aufeinander zurennen/-fahren. Um den Zeitpunkt herauszufinden, zu dem sie sich treffen, einfach beide Bewegungsgleichungen gleichsetzen:

$$15 \ km/h \cdot t = -65 \ km/h \cdot t + 2 \ km$$

$$ \Leftrightarrow \quad 80 \ km/h \cdot t = 2 \ km$$

$$ \Leftrightarrow \quad t = \frac{2 \ km}{80 \ km/h} = \frac{1}{40}h$$

Sie treffen sich also nach 1/40 h (= 1,5 min). Diesen Wert in die Bewegungsgleichung des Menschen einsetzen, um zu erfahren, wie weit er in dieser Zeit kommt:

$$ s_{Mensch,+} (1/40 \ h) = \frac{ 15 \ km/h}{40 / \ h} = 3/8 \ km \ .$$

So, für den Fall dass beide in dieselbe Richtung rennen/fahren, bleibt die Bewegungsgleichung des Zuges gleich. Die des Menschen ändert sich aber, da die Geschwindigkeit jetzt in die andere Richtung zeigt:

$$s_{Mensch,-} (t) = v_{Mensch,-} (t) \cdot t = -15 \ km/h \cdot t$$

Wieder gleichsetzen und nach t auflösen:

$$ -15 \ km/h \cdot t =  -65 \ km/h \cdot t + 2 \ km$$

$$ \Leftrightarrow \quad 40 \ km/h \cdot t = 2 \ km$$

$$ \Leftrightarrow \quad t = \frac{2 \ km}{40 \ km/h} = \frac{1}{20}h \ , $$

was einer Strecke von

$$s_{Mensch,-} (1/20 \ h) = \frac{ -15 \ km/h}{20 / \ h} = - 3/4 \ km \ . $$

entspricht. Insgesamt ist die Brücke so lang wie beide Strecken zusammenaddiert, also:

$$ 3/8 \ km + | -3/4 \ km | = 9/8 \ km = 1,125 \ km$$

Comments

65 km/h - 15 km/h  = ?

Und wenn ich es richtig verstanden habe, hast du übersehen, dass der Zug den vor ihm weglaufenden Fragesteller ja auch noch einholen muss, dass also zu der Strecke von 2 km noch die Strecke hinzukommt, die der Fragesteller zurücklegt, bis der Zug ihn einholt.

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Physikalisch sollte meine Antwort korrekt sein. Soweit ich das beim Überfliegen deiner Antwort und des dazugehörigen Kommentars verstanden habe, hast du dich diesbezüglich auch korrigiert.

Der mathematische Einwand ist natürlich gerechtfertigt. Wenn man richtig rechnet, treffen sich Mensch und Zug im zweiten Teil nach t = 1/25 h, was einer Strecke für den Menschen von -3/5 km entspricht.

Somit ergibt sich eine Länge für die Brücke von

3/8 km + |-3/5 km| = 15/40 km + 24/40 km = 39/40 km = 0,975 km .


Danke für die Korrektur, JotEs. :)

Answer 2

Sei x die Entfernung von deinem Standort bis zu der dem Zuge zugewandten Ende der Brücke und y die Entfernung von deinem Standort bis zu der dem Zuge abgewandten Ende der Brücke. Die Länge L der Brücke ist dann die Summe dieser beiden Strecken, also

L = x + y

Der Zug ist zu Beginn 2 km von dir entfernt, also ( 2 - x ) km von dem ihm zugewandten Brückenende und ( 2 + y ) km von dem ihm abgewandten Brückenende.

Für die Strecke x benötigst du bei einer Geschwindigkeit von 15 km/h genauso lange, wie der Zug für ( 2 - x ) km bei einer Geschwindigkeit von 65 km/h, also:

x / 15 = ( 2 - x ) / 65

<=> 65 x = 30 - 15 x

<=> 80 x = 30

<=> x = 30 / 80 = 0,375 km

Für die Strecke y benötigst du bei einer Geschwindigkeit von 15 km/h genauso lange, wie der Zug für ( 2 + y ) km bei einer Geschwindigkeit von 65 km/h, also:

y / 15 = ( 2 + y ) / 65

<=> 65 y = 30 + 15 y

<=> 50 y = 30 

<=> y = 30 / 50 = 0,6 km

 

Somit gilt für die Länge L der Brücke:

L = 0,375 km + 0,6 km = 0,975 km 

Comments

Ich bin bei meinem ersten Versuch vermutlich von einer falschen Voraussetzung ausgegangen, nämlich davon, dass der Zug zu Beginn 2 km vom Anfang der Brücke entfernt war. Geschrieben hast du allerdings, dass der Zug 2 km von dir entfernt war. Du aber hast ja bereits auf der Brücke gestanden.

Das führt zu einer leichten Veränderung in der Berechnung. Ich hab's einfach in meiner Antwort geändert. Sie müsste jetzt richtig sein.