Beweis des Distributivgesetzes ohne dieses selbst zu verwenden

Question

Aufgabe:

zeige, dass für alle natürlichen Zahlen gilt:

(k+l)m=km+lm

Induktionsanfang ist mir klar aber beim Induktionsschritt bleibe ich immer wieder hängen, da ich ohne das Distributivgesetz selbst zu verwenden irgendwie nicht weiter komm.

Es wär toll wenn jemand einen tipp hätte!!!

Einer meiner vielen Anfänge:

IS: (k+l)(m+1)=(k+l)m+(k+m)

=(i.v.)= km+lm+(k+m)=km+lm+k+m=km+k+lm+m=(km+k)+(lm+m) --> AB HIER SCHEINE ICH OHNE DISTRIBUTIVG: NICHT WEITER ZU KOMMEN!!

Answer 1

Ich würde mir das in etwa wie folgt vorstellen: https://docs.google.com/document/d/1f6H3AwkUuUTgrxwG4yNW2-m4egreyFr184nIPPvVSkQ/pub

Ich habe mal als Buchstaben x, y und z gewählt.

Der Trick dabei ist denke ich die rekursive Definition der Multiplikation zu verwenden.

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Distributivgesetz

 

Behauptung: x·(y·z) = x·y + x·z

 

Beweis über vollständige Induktion

 

Induktionsanfang: z = 0

 

x·(y + 0) = x·y + x·0	| a·0 = 0
x·(y + 0) = x·y + 0	| a + 0 = a
x·y = x·y

 

Induktionsschritt: z --> z+1

 

x·(y + (z + 1)) = x·y + x·(z + 1)	| a + (b + 1) = (a + b) + 1
x·((y + z) + 1) = x·y + x·(z + 1)	| a·(b + 1) = a·b + a | Definition der Multiplikation als rekursive Addition.
x·(y + z) + x·1 = x·y + x·z + x·1	| Induktionsanfang. Für z gilt es.
x·y + x·z + x·1 = x·y + x·z + x·1	| a·1 = a
x·y + x·z + x = x·y + x·z + x

 

qed.

Comments

vielen Dank!

ich hoffe ich darf das verwenden :) weil das im grunde ja auch distributivgesetz ist