In der Vorlesung wurde folgendes Einführungsbeispiel zu Kapitel über exakte Differentialgleichungen \( A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y = 0 \) behandelt:
$$A ( x , y ) = 2 x y \cos y + x ^ { 2 }$$
$$B ( x , y ) = x ^ { 2 } \cos y - x ^ { 2 } y \sin y$$
und die zugehörige Stammfunktion \( U ( x , y ) = x ^ { 2 } y \cos y + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + c \) durch x-Integration von \( A ( x , y ) = \frac { \partial v } { \partial x } \) bestimmt.
Überzeugen Sie sich, dass man auf analoge Weise durch y-Integration von \( B( x , y ) = \frac { \partial v } { \partial x } \) dieselbe Stammfunktion
$$U ( x , y ) = x ^ { 2 } y \cos y + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + c$$
bekommt.
Führen Sie eine Probe durch, indem Sie die impliziten Lösungskurven für y(x)
$$x ^ { 2 } y \cos y + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } = C$$
nach x differenzieren und somit die ursprüngliche exakte Differentialgleichung erhalten.
Hinweis:
$$\frac { d } { d x } F ( y ( x ) , x ) = \frac { \partial F } { \partial y } y ^ { \prime } ( x ) + \frac { \partial F } { \partial x }$$
