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Aufgabe:

Es sei A eine 2 × 2 Matrix mit komplexen Einträgen.

a) Zeigen Sie: Wenn λ ein Eigenwert von A ist und p ∈ ℕ eine positive natürliche Zahl ist, so dass Ap=E2 A ^ { p } = E _ { 2 } gilt, dann folgt λp=1 \lambda ^ { p } = 1 .

b) Untersuchen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

Jede komplexe 2 × 2 Matrix, deren Eigenwerte in {-1, 1} enthalten sind, ist diagonalisierbar.

Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Zeigen Sie:

Wenn A2=E2 A ^ { 2 } = E _ { 2 } gilt, dann ist jeder Eigenwert von A in {-1, 1} enthalten und A ist diagonalisierbar.

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λ Eigenwert von A heißt: Es gibt ein v∈ℂ2 mit v≠0 und

A*v = λ*v

==>  A2 * v = A* ( A*v) = A* (λ*v)

            = λ*(A*v) = λ*λ*v = λ2 * v

Also auch ( wenn man superpingelig ist

mit Induktion beweisen )   Ap *v = λp * v

und wenn Ap = E ist, dann ist ja Ap * v = E*v = v

also         λp * v = v = 1*v

und da v≠ 0   ist, also    λp = 1.

Avatar von 289 k 🚀

Alles klar danke und wie soll man b) angehen? Ich habe gerade wirklich keine Ahnung wie ich das machen sol

Da weiß ich auch nicht so recht.

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